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1点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动2014年10月22日基基础础部部分分————运运动动学学第5章点的一般运动与刚体的基本运动2点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动一、运动学的研究对象及任务一、运动学的研究对象及任务引引论论研究任务研究任务研究对象研究对象点点和刚体刚体（（单个刚体、简单刚体系统）z运动方程；z运动的几何性质几何性质；；z运动的运动的合成合成与与分解分解。几个工程实例几个工程实例3点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例11观察轮缘上点的运动轨迹观察轮缘上点的运动轨迹4点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例22观察摆式运输机的运动观察摆式运输机的运动5点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例33观察行星轮的运动观察行星轮的运动6点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例44观察操纵斗的运动观察操纵斗的运动7点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例55观察飞机的一般运动观察飞机的一般运动8点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例66观察陀螺的运动特点观察陀螺的运动特点9点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动学习动力学的基础学习动力学的基础受力分析受力分析和运动分析运动分析是学习动力学的两大基础。二、学习运动学的目的二、学习运动学的目的三、运动学的分析方法三、运动学的分析方法不考虑运动原因，只研究运动的几何性质几何性质。（包括运动方程、轨迹、速度和加速度）学习机械原理和设计传动机构的基础学习机械原理和设计传动机构的基础10点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动三、运动学的分析方法三、运动学的分析方法不考虑运动原因，只研究运动的几何性质几何性质。瞬时分析：特定瞬时或位置的运动性质矢量工具数值求解工具过程分析：连续过程的运动全貌11点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动第5章点的一般运动与刚体的基本运动第6章点的复合运动第7章刚体平面运动四、具体内容四、具体内容12点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动§5-1点的运动的矢量法§5-2点的运动的直角坐标法§5-3点的运动的弧坐标法§5-4刚体的基本运动§5-5本章讨论与小结第5章点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动13点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动一、一、运动方程运动方程)(trr=二、轨迹二、轨迹三三、、点的速度点的速度tddrv=r&=————位矢端图位矢端图O)(tr)(ttΔ+rvMM′位矢四、点的加速度tddva=22ddtr=rv&&&==§§55--11点的运动的矢量法此法只适用于定性分析，不宜用于定量分析。14点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动一、一、运动方程运动方程§§55--22点的运动的点的运动的直角坐标法直角坐标法OrMxyz)(zy,x,xyz)()(1txtfx==)()(2tytfy==)()(3tztfz==二、轨迹方程二、轨迹方程——空间曲线空间曲线方程方程0),(=yxϕ0),(=zyψ15点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动三三、、点的速度点的速度txvxdd=x&=ytyvy&==ddztzvz&==dd四四、、点的点的加速度加速度xa=ya=za=xvx=&&&yvy=&&&zvz=&&&16点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动AB§§55--33点的运动的点的运动的弧坐标法弧坐标法前提：运动轨迹运动轨迹已知。原点原点OO：轨迹上任选一点。一、一、运动方程运动方程sMO)(−)(+弧坐标表示的运动方程弧坐标弧坐标正方向正方向：坐标原点O的某一侧为正向。弧坐标弧坐标ss：沿轨迹从O到点M的弧长。)()(tstfs==17点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动二、自然轴系二、自然轴系主法线主法线：单位矢量nn，正向指向凹侧。切线切线：单位矢量ττ，指，指向与弧坐标正向一致。副法线副法线：单位矢量bb，且满足。nb×=τ18点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动思考：思考：自然轴系与固定直角坐标系的共同点？自然轴系与固定直角坐标系的不同点？19点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动)(trMO三三、、点的速度点的速度tddrv=ststtΔΔ⋅ΔΔ=→Δ→Δr00limlim)(lim0tsstΔΔ⋅ΔΔ=→Δrτ⋅=tsddstsddddr⋅=τ⋅=vtsvdd=)(ttΔ+rvM′sΔO)(−)(+rΔttΔΔ=→Δr0limτ20点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动四四、、点的加速度点的加速度tddva=)(ddτvt=τ⋅=22ddtstvddτ⋅+τ⋅=tvddtvddτ⋅+第一项反映速度速度大小大小随时间的变化率随时间的变化率，方向沿切线方向沿切线方向方向。ττa22tddddtstv==22tddddtstva==zz切向切向加速度加速度ta21点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动svtΔΔ⋅=→Δτ02limtvddnτa=)(lim0tssvtΔΔ⋅ΔΔ⋅=→ΔτtvtΔΔ=→Δτ0lim——反映速度速度方向方向随时间的变化率随时间的变化率zz法向法向加速度加速度na=Δ||τQ2sin||2ϕΔτ2sin2ϕΔ=stΔΔ∴→Δτ0limρ1=ssΔΔ=→Δϕ0limsddϕ=nρ2v=22sin,0,0ϕϕΔ→Δ→Δ→Δst时当方向沿主法线正向。方向？n22点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动ntaaa+=2n2taaa+=nτntaa+=全全加速度为加速度为：：nt||arctanaa=θ讨论：讨论：什么情况下，点作什么情况下，点作加速加速运动？运动？什么情况下，点作什么情况下，点作减速减速运动？运动？、、同向同向vta、、反向反向vtanaρ2nv=τatvddt=23点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动24点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动[[例例55--1]1]半径为r的轮子沿直线轨道作纯滚动，设轮子转角ϕ=ωt（ω为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。解：解：直角坐标系Oxy如图。（（11）运动方程）运动方程MCOC=trω=)2/cos(1πϕ−−=MOOCx)sin(ttrωω−=)2/sin(11πϕ−+=MOCOy)cos1(trω−=M点的运动方程运动方程为：25点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动)2/cos(1πϕ−−=MOOCx)sin(ttrωω−=)2/sin(11πϕ−+=MOCOy)cos1(trω−=tryvyωωsin==&)cos1(trxvxωω−==&（（22）速度）速度22yxvvv+=trωωcos22−=2sin2trωω=（3）切向、法向加速度va&=t2cos2trωω=思考：思考：如何求如何求点M的法向加速度？26点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动将速度投影再对时间求导，即得加速度投影加速度投影：trxaxωωsin2==&&tryayωωcos2==&&M点的全加速度全加速度为：222ωraaayx=+=于是于是法向加速度法向加速度为：为：2t2naaa−=2sin2trωω=n2av=ρ2sin4trω=另外，还可求得轨迹的曲率半径曲率半径27点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动tvsdd=（（44））运动方程（弧坐标）方程（弧坐标）如何取弧坐标的原点？∫=tvs0d)(ηη∫=tr0d2sin2ηωηω)2cos1(4trω−=)20(πω≤≤t28点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动讨论：讨论：当t=2π/ω（ϕ=2π）时0=v即：沿地面作纯滚动纯滚动的轮子与地面接触点的的轮子与地面接触点的速度为零速度为零，，但但加速度不为零加速度不为零，且指向轮心。20ωraayx==traxωωsin2=trayωωcos2=2sin2trvωω=29点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动[思考]判断下列运动是否可能出现？若能出现，则判断是什么运动?(加速曲线运动)(不可能)(不可能)(不可能)(匀速曲线运动)(不可能)(减速曲线运动)30点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动§§55--44刚体的基本运动刚体的基本运动定义定义刚体在运动过程中，其上任一条任一条直线直线始终始终与它的初始位置平行平行，这种运动称为平行移动，简称平移。55--44--11平行移动（平移）平行移动（平移）31点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动32点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动当刚体平移时，矢量rAB方向方向不变，大小大小也不变，为恒矢量。其上各点的轨迹可以是直线直线，也可以是曲线曲线。下面来研究刚体平移平移时，其上各点的轨迹轨迹、速度速度和加速度加速度之间之间的关系。xyOABB′A′ArBrABrBA′′r直线平移曲线平移两轨迹有何关系？33点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动由图可知：+=ABrrBBrv&=Ar&=Av=BBra&&=Ar&&=Aa=xyOABB′A′ArBrABrBA′′r对时间求导，得：ΑΒr特点特点zz刚体上各点的轨迹形状相同形状相同；；z任一瞬时，刚体上各点的速度相同速度相同；；z任一瞬时，刚体上各点的加速度相同加速度相同。。可见：平移刚体的运动，可归结为点的运动来研究。34点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动35点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动55--44--22定轴转动定轴转动36点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动37点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动——不在轴线上的各点均作圆周运动圆周运动。特点特点38点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动zz平面图形的平面图形的位置确定转动方程zz简化成平面图形——转角转角ϕ符号：从z轴正向看，逆正顺负。zz转动方程转动方程)(tf=ϕ单位：弧度（rad）角速度和角加速度角速度和角加速度ddϕϕω&==tz角速度平面图形39点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动角速度和角加速度角速度和角加速度ϕω&=单位：rad/s符号规定：同转角ϕ。z角速度工程中常用转速转速nn（r/min）表示刚体转动的快慢程度，与ω的关系为：30nπω=ωα&=z角加速度ϕ&&=（单位：rad/s2）40点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动刚体上点的速度和加速度刚体上点的速度和加速度z线速度vtsvdd=tRtΔϕΔΔ⋅=→0lim（弧坐标法）（弧坐标法）ω、α对整个刚体而言（各点都一样）；v、a对刚体中的某点而言（各点不一样）。tstΔΔ=→Δ0limRω=Rvω=R方向?（与ω之间的关系）41点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动z加速度a（与ω、α之间的关系）tvaddt=ρ2nva=2n2taaa+=nttanaa=θ)(ddRtω=Ra⋅=αtRα=Ra⋅=2nωRR2)(ω=R2ω=42ωα+=R2ωα=Rnataαta方向?42点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动各点速度分布图各点加速度分布图（1）速度v⊥R，指向与ω转向一致一致，大小与R成正比。结论结论::（2）全加速度a的大小与R成正比，方向与半径之间的夹角都相同夹角都相同，且小于