南航理论力学范钦珊PPT第11章-质点系动能定理

1质点系动能定理质点系动能定理2014年12月15日Monday基基础础部部分分————动动力力学学第11章质点系动能定理2质点系动能定理质点系动能定理§11-1力的功§11-2质点系的动能§11-3质点系动能定理§11-4势能·机械能守恒定律§11-5动力学普遍定理综合应用§11-6本章讨论与小结第第1111章章质点系动能定理质点系动能定理3质点系动能定理质点系动能定理一、常力的功一、常力的功••代数量•单位：焦耳（J）————力沿运动路程累积效应的度量θcosSFW=SF⋅=m1N1J1⋅=2πθ0W正功2πθ0W负功2πθ=0=WFM1M2MS觧1111--11力的功力的功4质点系动能定理质点系动能定理二、变力的功二、变力的功元功：元功：WdsFdt=rFd⋅=zFyFxFzyxddd++=变力的功：变力的功：∫=WWd（在曲线路程M1M2上）∫=21dcossssFθ∫⋅=21dMMrF∫++=21)ddd(MMzyxzFyFxF（自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）——解析表达式∫=21dtsssFsFdcosθ=5质点系动能定理质点系动能定理三、几种常见力作的功三、几种常见力作的功1.1.重力的功重力的功‹质点mgFFFzyx−===,0,0)(2112zzmgW−=可见：质点系重力作功仅与质心运动始、末位置的高度差有关，而与质心运动路径无关。‹‹质点系质点系)(21CCzzmg−=)(2112iiizzgmW−=∑6质点系动能定理质点系动能定理2.2.弹性力的功弹性力的功δkF=)(0lrk−=)(2222112δδ−=kW——δ1和δ2为弹簧变形量00)(rFlrk−−=‹直线线弹簧弹簧‹扭转弹簧)(2222112θθ−=kW可见：弹簧力的功也与运动路径无关。7质点系动能定理质点系动能定理3.3.定轴转动定轴转动刚体上作用力的功刚体上作用力的功力F的元功为sFdt=ϕdtRF=RFt∵ϕddzMW=∴zM=)(FzM=当刚体从到的转动过程中力F所作的功为1ϕ2ϕ∫=21d12ϕϕϕzMW上式也适用于力偶。rFdd⋅=W8质点系动能定理质点系动能定理4.4.平面运动平面运动刚体上刚体上力系力系的功的功刚体上任一力Fi作用点Mi的无限小位移为=irdCrdiCrd+iFiMCCrdϕdiCrdθϕdd⋅=CMriiC式中：Crd—质心无限小位移ϕd—刚体无限小转角力Fi作的元功为iiiWrFdd⋅=CirFd⋅=iCirFd⋅+其中：=⋅iCirFdiCirFdcos⋅θϕθdcos⋅⋅=CMFiiϕd)(⋅=iCMF9质点系动能定理质点系动能定理iFiMCCrdϕdiCrdCiiWrFdd⋅=ϕd)(⋅+iCMF力系元功：∑=iWWdd∑⋅=CirFd∑⋅+ϕd)(iCMFCrFdR⋅=ϕd⋅+CM作用于刚体上力系作功为∫∫+=2121ddR12ϕϕϕCCCCMWrFRF—力系主矢CM—力系对质心主矩力系主矢的功力系对质心主矩的功10质点系动能定理质点系动能定理一、质点的动能一、质点的动能221mv••正标量，与速度方向无关；•量纲与功相同，单位也是焦耳（J）；•与动量的比较异：同：均是机械运动强弱程度的一种度量；动能与质点速度平方成正比，为标量；动量与质点速度一次方成正比，为矢量。§§1111--22质点系的动能质点系的动能11质点系动能定理质点系动能定理二、质点系的动能二、质点系的动能T221iivm∑=——柯尼希定理r221CCTmvT+=注意：这一结论仅以质心为基点时正确。221Cmv=？？imxyzCCrir′irivx′y′z′riCivvv+=r2r222iCiCiiivvvvvvv⋅++=⋅=∑⋅++=)2(21r2r2iCiCivvmTvv)()21(21r2r2∑∑⋅++=iiCiiCmvmmvvvO12质点系动能定理质点系动能定理三、刚体的动能三、刚体的动能1.平移刚体∑=221iivmT221Cmv=2.定轴转动刚体221ωzJ=∑=221iivmT2)(21∑=iirmω3.平面运动刚体221Cmv221ωCzJ+221ωPzJ==T13质点系动能定理质点系动能定理[[例例1111--1]1]质量为m1的均质细杆OA绕水平轴O转动，其另一端有一均质圆盘，可绕A轴转动。已知：OA=l，圆盘质量为m2，半径为R。初始时两者静止，下落至图示位置时杆的角速度为ω0，求系统的总动能。由盘相对于质心的动量矩定理，可知盘作平移，故有解：解：2021)31(21ωlmT=杆杆OA作定轴转动，故有2221AvmT=盘202)(21lmω=盘杆系统TTT+=A0ωOA?=Aω14质点系动能定理质点系动能定理求：系统的动能。求：系统的动能。BlvAAθ滑块A作直线平移，有杆AB作平面运动，以A为基点，则B点速度为解：解：2121AAvmT=BAABvvv+=ωlvBA=BAvAv[[例例1111--2]2]已知滑块A的质量为m1，质点B的质量为m2，杆AB长度为l，质量不计，可绕A点转动，且与铅垂线夹角为θ，滑块A速度为vA。θl=θcosBAABxvvv+=θθcoslvA+=15质点系动能定理质点系动能定理θsinBAByvv=θθsinl=θθcoslvvABx+=2221BBvmT=)(21222ByBxvvm+=[]222)sin()cos(21θθθθllvmA++=222222121cos)(21θθθlmlvmvmmTAA+++＝22222221cos21θθθlmlvmvmAA++=BlvAAθBAvAv2121AAvmT=16质点系动能定理质点系动能定理[思考思考]质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为ω，则系统的动能为（）。①2221ωmRT=2223ωmRT=②③22ωmRT=222ωmRT=④√√17质点系动能定理质点系动能定理[[思考题思考题]]R?=T227ωmRT=18质点系动能定理质点系动能定理一、质点动能定理一、质点动能定理)21d(2mvWd=——微分形式21222121mvmv−12W=——积分形式§§1111--33质点系动能定理动能定理二、质点系动能定理二、质点系动能定理∑=iWd∑=−iWTT12Td——微分形式——积分形式19质点系动能定理质点系动能定理∑=iWTdd∑=−iWTT12讨论：讨论：1.计算作功时，不仅要考虑质点系的外力，还要考虑质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。ABFFAAFFBBBrArxxzzyyOBBAAWrFrFddd⋅+⋅=内力FA和FB所作元功之和：BAAArFrFd)(d⋅−+⋅=)dd(BAArrF−⋅=)d(BAArrF−⋅=BAArFd⋅=ABArFd⋅−=ArdBrd20质点系动能定理质点系动能定理ABArFWdd⋅−=即当两点之间距离改变时，内力作功之和不等于零。即当两点之间距离保持不变时，内力作功之和等于零。0d≠ABr0d≠W0d=ABr0d=W)1()2(例如：变形体的内力；例如：汽车发动机的内力；机器中轴和轴承之间的摩擦力。刚体内力；不可伸长的绳索的内力。21质点系动能定理质点系动能定理z光滑固定面和滚动支座z光滑铰链支座、向心轴承及固定端z沿固定面的纯滚动2.2.关于关于理想约束——约束力不作功或作功之和等于零。‹约束力不作功‹约束力作功之和等于零z刚性二力杆z联结两个刚体的光滑铰链z沿运动面的纯滚动22质点系动能定理质点系动能定理[[例例1111--3]3]卷扬机卷扬机求圆柱中心C经过路程s时的速度。已知鼓轮：常力偶M，R1，m1(分布于轮缘)；圆柱：R2，m2(均匀分布)，作纯滚动。设斜面倾角为θ，系统从静止开始运动。（1）取整个系统为研究对象解：解：（2）受力分析，并计算力的功主动力：约束力：gg21,,mmMsN,,,FFFFOyOx均为理想约束，且内力作功之和为零。P23质点系动能定理质点系动能定理主动力的功为=12W1RsMsgm⋅⋅−θsin2（3）运动分析，并计算动能01=T=2T21121ωOJ22221ωPJ+2111RmJO=22222RmJJCP+=22223Rm=设圆柱中心C的速度为vC，则由运动学关系有其中：22222221RmRm+=P24质点系动能定理质点系动能定理（4）应用质点系动能定理1212WTT=−221)32(41Cvmm+0−sgmRsM⋅⋅−=θsin21)32()sin(221112mmRsgRmMvC+−=θ解得2212)32(41CvmmT+=∴P,11RvC=ω22RvC=ω25质点系动能定理质点系动能定理应用动能定理的应用动能定理的解题步骤：解题步骤：（1）选取研究对象；（2）分析受力，计算力的功力的功；（3）分析运动，计算质点系在起点和终点的动能动能；（4）应用质点系动能定理质点系动能定理建立方程，求解未知量。z区分主动力与约束力z在理想约束情况下约束力不做功z考虑内力作功和是否为零（一般取整个系统）26质点系动能定理质点系动能定理已知：动齿轮半径r，质量m1，视为均质圆盘；曲柄质量m2，长l，作用常力偶矩M。由静止开始转动。[[例例1111--4]4]行星齿轮机构行星齿轮机构（在水平面内）（在水平面内）求：曲柄的角速度和角加速度。（表示为转角ϕ的函数）（1）取整个系统为研究对象解：解：（2）受力分析受力分析，并计算力的功系统具有理想约束，内力作功和为零，且重力不作功，故主动力作功为ϕMW=1227质点系动能定理质点系动能定理（3）运动分析运动分析，并计算动能ϕMW=1201=T=2T222)31(21ωlm])21(212121ωrm+21121[vm+ωlv=1ωωrlrv==112212)92(121ωlmm+=（4）应用质点系动能定理，得ϕωMlmm=−+0)92(1212212129232mmMl+=ϕω将上式对时间求一次导数，得212)92(6lmmM+=α28质点系动能定理质点系动能定理CABh[[例例1111--5]5]两根质量为m长为l的均质杆AC和BC，C处光滑铰接，置于光滑水平面上。设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h。求铰C到达地面时的速度。（1）取整个系统为研究对象解：解：（2）受力分析受力分析，计算力的功mghW=12CvgmAFBF（3）运动分析运动分析，计算功能01=T因，故C点铅垂落下。0e=∑xFgm由A、C两点速度方向，可知A即为杆AC的速度瞬心。29质点系动能定理质点系动能定理=2T当铰C落地时,lvCAC=ωlvCBC=ω2222)31(21)31(21BCACmlmlωω+231Cmv=（4）应用质点系动能定理，得mghmvC=−0312ghvC3=思考：思考：若要求铰C到达地面时的加速度，则能否直接对上式求导？思考：思考：若杆AC质量为2m，其它条件不变，则结果如何？30质点系动能定理质点系动能定理§§1111--44势能势能··机械能守恒定律机械能守恒定律一、势力场一、势力场‹力场力场‹势力场势力场在力场中，若作用于质点的力所作功仅决定于质点的始末位置，而与运动路径无关，这种力场称为势力场。例如：重力场，弹性力场，万有引力场。重力场，弹性力场，万有引力场。在势力场中质点受到的力称为有势力或保守力。若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。31质点系动能定理质点系动能定理二、势能二、势能‹‹定义定义——在势力场中，质点从点M运动到任选点任选点MM00有势力所作的功。‹‹计算公式计算公式V∫⋅=0dMMrF)ddd(0zFyFxFzyxMM++=∫z重力场中的势能∫−=0dzzzmgV)(0zzmg−=为计算方便，取,则00=zmgzV=对于质点系或刚体:CMgzV=零势能点32质点系动能定理质点系动能定理质点m1受到物体m2的万有引力为z弹性力场中的势能)(21202δδ−=kV如取弹簧的自然位置自然位置为零势能点，则有221δkV=z万有