南航理论力学范钦珊PPT第12章-达朗贝尔原理

1达朗贝尔原理达朗贝尔原理2014年12月24日基基础础部部分分————动动力力学学第12章达朗贝尔原理2达朗贝尔原理达朗贝尔原理就整个物体而言，内部反作用互相抵消了，已而对运动没有任何贡献，而事实上另一组力把运动传递给系统，使得有效力静态地等于外力或外加力，这里说的“有效力”即是惯性力。JeanleRondd’Alembert（1717-1783)达朗贝尔是一位著名的哲学家、数学家、天文学家和力学家。1743年，他发表了《论动力学》一书，提出了达朗贝尔原理。假定：达朗贝尔原理将动力学和静力学按统一的观点来处理。3达朗贝尔原理达朗贝尔原理§12-1质点的达朗贝尔原理§12-2质点系的达朗贝尔原理§12-3刚体惯性力系的简化§12-4定轴转动刚体的轴承约束力§12-5本章讨论与小结具体内容：具体内容：4达朗贝尔原理达朗贝尔原理§§1212--11质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理人用手推车：aFFm−=−='力F′是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，而对于施力物体（人手）产生的反抗力，称为小车的惯性力。定义：质点惯性力aFm−=I一、惯性力的概念5达朗贝尔原理达朗贝尔原理22I22I22IddddddtzmmaFtymmaFtxmmaFzzyyxx−=−=−=−=−=−=22tItddtsmmaF−=−=[[注意注意]]质点惯性力不是作用在质点上的真实力。在直角坐标中的投影：在自然坐标中的投影：ρ2nInvmmaF−=−=0bbI=−=maFaFm−=I6达朗贝尔原理达朗贝尔原理非自由质点M，质量m，受主动力F，约束力FN作用。NRFFF+=0N=−+aFFm0IN=++FFF——质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理am=合力：NFIF7达朗贝尔原理达朗贝尔原理0IN=++FFF注意：◆FI是虚拟的，实际上不存在；◆形式上的平衡，实际上并不平衡。优点：◆可以将动力学问题从形式上转化为静力学问题求解，故也称动静法；◆给动力学问题提供了一种统一的解题格式。如何测定车辆的加速度？8达朗贝尔原理达朗贝尔原理选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力：ImaF=∑=:0xFαtan⋅=ga解：解：由达朗贝尔原理，列方程解得：[[例例1212--1]1]列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度α，相对于车厢静止。求车厢的加速度a。IF0cossinI=−⋅ααFmg——摆式加速计的原理9达朗贝尔原理达朗贝尔原理§12-2质点系的达朗贝尔原理可用方程表示为：0IN=++∑∑∑iiiFFF第i个质点：0IN=++iiiFFF每个质点平衡⇒整个质点系平衡⇒主动力系、约束力系、惯性力系构成形式上的平衡力系——质点系的达朗贝尔原理0)()()(IN=++∑∑∑iOiOiOFMFMFM10达朗贝尔原理达朗贝尔原理表明：表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。∑∑=+0IeiiFF将质点系受力按内力、外力划分，则0IN=++∑∑∑iiiFFF0)()()(IN=++∑∑∑iOiOiOFMFMFM∑∑=+0)()(IeiOiOFMFM11达朗贝尔原理达朗贝尔原理对平面任意力系：∑∑=+0IexixFF实际应用时，同静力学问题一样，选取研究对象；画受力图画受力图；；列平衡方程；求解未知量。∑∑=+0)()(IeiOiOMMFF∑∑=+0IeyiyFF∑∑=+0IeiiFF∑∑=+0)()(IeiOiOFMFM12达朗贝尔原理达朗贝尔原理§§1212--33刚体刚体惯性力系惯性力系的简化的简化简化方法：同静力学中的力系简化∑=iIIRFF)(II∑=iOOFMM与简化中心位置无关一般与简化中心位置有关Cma−=一、质点系惯性力系的主矢与主矩二、刚体惯性力系的简化◆平移刚体13达朗贝尔原理达朗贝尔原理‹平移刚体向质心C简化：CmaF−=IR∑=)(IIiOOFMM结论：刚体平移时惯性力系可合成为一过质心的合力。1IF2IF3IFIRF∑−×=)(iiimar∑×−=Ciimar)(CCmar×−=∑−×=)(Ciimar0I=CMCmaF−=IR14达朗贝尔原理达朗贝尔原理‹定轴转动刚体iiimaF−=I直线i：平移，过Mi点，空间惯性力系⇒平面惯性力系（质量对称平面）向转轴z与质量对称平面的交点O简化：tIiFnIiFαα特殊情形：●刚体具有质量对称面●转轴垂直于质量对称面15达朗贝尔原理达朗贝尔原理主矢：CmaF−=IR)()(nItI∑∑+=iOiOMMFF主矩：0+⋅−=∑αiiirmrα∑−=2iirm（负号表示与α反向）αOJ−=∑=)(IIiOOMMF简化结果：αOOJM−=I作用在作用在OO点点CmaF−=IRtIiFnIiFnIRFtIRFOMIαtIiFnIiFα16达朗贝尔原理达朗贝尔原理[[思考思考]]均质细长杆绕轴O转动（m、L、ω、α）求：向交点O简化的主矢？主矩？)(41tIR↑=LmFαOCαωL/4)(412nIR→=LmFωα2I487mLMO=17达朗贝尔原理达朗贝尔原理①刚体作匀速转动，且转轴不通过质心C。2IRωmeF=②转轴过质心C，但α≠0，惯性力偶αCOJM−=I（与α反向）③刚体作匀速转动，且转轴过质心C0,0IIR==OMF（惯性力主矢、主矩均为零）IRFOMIα18达朗贝尔原理达朗贝尔原理刚体平面运动可分解为CmaF−=IRαCCJM−=I‹平面运动刚体随质心C的平移：绕质心轴的转动：（作用于质心C）CmaF−=IRαCCJM−=I向质心C简化：IRFCMIα特殊情形：●刚体具有质量对称面●刚体平行于该平面作平面运动刚体的惯性力系⇒对称面内的平面力系19达朗贝尔原理达朗贝尔原理可列出如下三个方程：0Ie=+∑xxFF0e=−∑CxxmaF∑∑∑===)(eeeFCCyCyxCxMJFmaFmaα——平面运动微分方程0)(Ie=+∑CCMMF0Ie=+∑yyFF0)(e=−∑αCCJMF0e=−∑CyymaFIRFCMIα⇒⇒20达朗贝尔原理达朗贝尔原理[[例例1212--2]2]均质杆长l，质量m，与水平面铰接，杆由与平面成ϕ0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及支座A的约束力。选杆AB为研究对象2tIRαmlF=32IααmlJMAA==解：解：根据动静法，有虚加惯性力系：0nIR==nmaFαtRIFnIRFnAFtAFAMIα21达朗贝尔原理达朗贝尔原理,0t=∑Fsin0nϕmgFA=,0n=∑F,0)(=∑FAMcos230ϕαlg=cos40tϕmgFA−=(1)0costIR0t=−+FmgFAϕ(2)0sinnIR0n=+−FmgFAϕ(3)02/cos0I=⋅−lmgMAϕ由式(2)得：由式(3)得：代入式(1)得：tRIFnIRFnAFtAFAMIα22达朗贝尔原理达朗贝尔原理[[思考思考]]均质细长杆绕轴O转动（m、L、ω、α）求：向交点O简化的主矢？主矩？)(41tIR↑=LmFαOCαωL/4)(412nIR→=LmFωα2I487mLMO=问：若向质心C简化，则主矢？主矩？23达朗贝尔原理达朗贝尔原理上节课内容回顾§12-1质点的达朗贝尔原理0IN=++FFF§12-2质点系的达朗贝尔原理aFm−=I（质点惯性力）0IN=++∑∑∑iiiFFF0)()()(IN=++∑∑∑iOiOiOFMFMFM24达朗贝尔原理达朗贝尔原理上节课内容回顾§12-2质点系的达朗贝尔原理∑∑=+0IeiiFF0IN=++∑∑∑iiiFFF0)()()(IN=++∑∑∑iOiOiOFMFMFM∑∑=+0)()(IeiOiOFMFM或：25达朗贝尔原理达朗贝尔原理上节课内容回顾§12-3刚体惯性力系的简化‹平移刚体向质心C简化：CmaF−=IR‹定轴转动刚体（特殊情形）αOOJM−=ICmaF−=IR向交点O简化：tIiFnIiFnIRFtIRFOMIα26达朗贝尔原理达朗贝尔原理上节课内容回顾§12-3刚体惯性力系的简化‹定轴转动刚体（特殊情形）αOOJM−=ICmaF−=IR向交点O简化：tIiFnIiFnIRFtIRFOMIαCmaF−=IRαCCJM−=I‹平面运动刚体（特殊情形）向质心C简化：IRFCMIα向质心C简化?27达朗贝尔原理达朗贝尔原理（1）选取研究对象；（原则与静力学相同）（2）受力分析，画受力图；（画全部外力，并虚加惯性力系）（3）列平衡方程；（选取适当的矩心和投影轴）（4）解方程，求未知量。解题步骤及要点：[注]FIR，MIO的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按FIR=maC，MIO=JOα代入即可。α28达朗贝尔原理达朗贝尔原理α动力学普遍定理？29达朗贝尔原理达朗贝尔原理ACCθASO[例12-3]均质圆柱m、R，初始静止，纯滚动，θ，s，板重不计。求：O处的约束力。（1）先取圆柱解：解：虚加惯性力系：mgFIRMICFsFN0=∑AMCmaF=IR0sinIIR=−−CMRFRmgθαCzCJM=IαRaC=θsin32gaC=θαsin32Rg=30达朗贝尔原理达朗贝尔原理CθASOmgFIRFOxFOyMIC（2）再取整体虚加惯性力系：FIR、MIC0=∑xF0cosIR=−θFFOx0=∑yF0sinIR=−+mgFFOyθ0=∑OM0cossinIRI=−−++θθmgsmgRRFMMCOθ2sin3mgFOx=)sin321(2θ−=mgFOyθcosmgsMO=MO31达朗贝尔原理达朗贝尔原理[[例例1212--4]4]质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳子又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下运动，求鼓轮的角加速度。取系统为研究对象解：虚加惯性力系：111IamF=222IamF=ααJJMOO==I1IFOMI2IFα32达朗贝尔原理达朗贝尔原理由动静法，列方程：0)(=∑FOMα11ra=gJrmrmrmrm++−=2222112211α0I22I11I2211=−−−−OMrFrFgrmgrm02221112211=−−−−αJramramgrmgrm111IamF=222IamF=ααJJMOO==Iα22ra=1IFOMI2IFα33达朗贝尔原理达朗贝尔原理[[思考题思考题]]图示机构，质量为m，半径为R的均质圆柱C在水平面上作纯滚动，物块A的质量为m，滑轮B的质量不计，细绳DE段水平。试求：（1）物块A的加速度；（2）细绳拉力；（3）为使圆柱作纯滚动，水平面与圆柱C间的静摩擦系数f的范围。ABCDE)(118↓=gaAmgF113T=111≥f34达朗贝尔原理达朗贝尔原理§§1212--44定轴转动刚体的轴承约束力定轴转动刚体的轴承约束力主动力系向O点简化:主矢：CmaF−=IR∑=)(IIiOOFMM一、轴承静约束力和动约束力ω，α（逆时针）主矢：主矩：惯性力系向O点简化:RFIRFOMIRF主矩：OM35达朗贝尔原理达朗贝尔原理RFIRFOMI)()()(III∑∑∑++=kFjFiFiziyixMMMkjizyxMMMIII++=∑=)(IIiOOFMM∑=)(IIixxMMF∑∑+−=iiiiiiiiamzamzααcossintn∑∑+−=iiiiiiiirzmrzmαααωcossin2co,siniiiiiixsryr==αα∑∑+=)()(tInIixixMMFFtIiFnIiF因36达朗贝尔原理达朗贝尔原理αωyzzxyJJM+=2I∑∑==iiiyziiizxzymJxzmJ2I)()(ωα∑∑−=iiiiiixzymxzmM2IωαyzzxxJJM−=)(tII∑=izzMMF令对z轴的惯性积同理可得：RFIRFOMItIiFnIiF∑−=iiiramtα∑−=2iirmαzJ−=37达朗贝尔原理达朗贝尔原理根据动静法，列方程：0IR=+++xxBAFFXX其中，前五个式子与轴承约束力有关。0IR=+++yxBAF