第十二讲-满秩分解与奇异值分解

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第十二讲满秩分解与奇异值分解1一、矩阵的满秩分解1.定义:设(0)mnrACr×∈,若存在矩阵mrrFC×∈及rnrGC×∈,使得AFG=,则称其为A的一个满秩分解。说明:(1)F为列满秩矩阵,即列数等于秩;G为行满秩矩阵,即行数等于秩。(2)满秩分解不唯一。rrrDC×∀∈(r阶可逆方阵),则1111()()()AFGFDDGFDDGFG−−====,且11,mrrnrrFCGC××∈∈2.存在性定理:任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明:采用构造性证明方法。设mnrAC×∈,则存在初等变换矩阵mmmEC×∈,2使.......()GrEABOmr==−行行,其中rnrGC×∈将A写成1AEB−=,并把1E−分块成[]1()|rmrEFS−−=列列,其中mrrFC×∈.......GAFSFGO∴==是满秩分解。3.Hermite标准形(行阶梯标准形)3设(0)mnrBCr×∈,且满足(1)B的前r行中每一行至少含一个非零元素(称为非零行),且第一个非零元素为1,而后()mr−行的元素全为零(称为零行);(2)若B中第i行的第一个非零元素(即1)在第ij列(1,2,...,)ir=,则12...rjjj;(3)矩阵B的第1j列,第2j列,…,第rj列合起来恰为m阶单位方阵mI的前r列(即12,,...,rjjj列上除了前述的1外全为0)则称B为Hermite标准形。4例1561356120013001022000111000000000000BC××−=∈−为Hermite标准形45224500102000130000000000BC××=∈也是Hermite标准形54.满秩分解的一种求法设mnrAC×∈,(1)采用行初等变换将A化成Hermite标准形,其矩阵形式为EAB=,其中B为Hermite标准形定义中给出的形状;(2)选取置换矩阵P1P的第i列为ije,即该列向量除第ij个元素为1外,其余元素全为零(1,2,...,)ir=,其中ij为Hermite标准形中每行第一个非零元素(即1)所在的列数;2其它()nr−列只需确保P为置换矩阵即可(P的每一行,每一列均只有一个非零元素,且为1);63用P右乘任何矩阵(可乘性得到满足时),即可将该矩阵的第ij列置换到新矩阵(即乘积矩阵)的第i列4令[]1()|*rnrPP−=列列,即121...rnrjjjrnrPeeeC××=∈(3)令GB=的前r行rnnC×∈,1mrrFAPC×=∈则AFG=证明:GEABO==,[]1|GAEBFSFGO−===则mrrFC×∈,rnrGC×∈,G已知,但?F=,当然可以通过求出1,EE−再将1E−分块得到,但这样G就没必要采用Hermite标准形形式,注意到1rIBPO=,7则[]111|rIAPEBPFSFO−===证毕例2123002111021A=−求其满秩分解解:(1)首先求出A的秩。显然,前两行互相独立,而第三行可由第一行减去第二行得到,故2r=。(2)进行初等变换将A化为Hermite标准型。8[]31230.100|0211.0101021.001AI=−(3)(1)(2)→−+1230.1000211.0100000.111−−(1)(2)→−1021.1100211.0100000.111−−−−(2)/2→91021.110011/21/2.01/200000.111−−−,即11001/20111E−=−,1021011/21/20000B=−,1021011/21/2G=−10(3)求出1P及1AP由B可见,121,2jj==故110010000P=,1120210FAP==验证:1212301021020211011/21/2101021FG==−−11而1120020101E−=二、酉对角分解与奇异值分解1.正规矩阵的谱分解A为正规矩阵,可酉对角化,则存在酉矩阵U,使12HnOUAUOλλλ==Λ12将U写成列向量形式,即[]12...nUuuu=,则[]1122121.......HHnHHniiiiHnnuOuAUUuuuuuOuλλλλ==Λ==∑这种分解形式称为正规矩阵的谱分解。2.非奇异矩阵的酉对角分解定理:设A为n阶非奇异矩阵,则存在n阶酉矩阵U及V,使得1312.,.HnOUAVOσσσ=0(1,2,...,)iinσ=(若将,UV写成[][]1212...,...nnUuuuVvvv==,则H1niiiiAuvσ==∑)证:HAA也为n阶非奇异矩阵,而且是厄米、正定矩阵,故存在n阶14酉矩阵V,使21222()..HHnOVAAVOσσσ=2iσ为HAA的特征值。令12..nOOσσσ=∑,则2HHVAAV=∑15令11,HHHUVAUAV−−=→=∑∑,则11()HHHnUUVAAVI−−==∑∑即U也是酉矩阵,而且1HHHUAVVAAV−==∑∑证毕酉对角分解的求法正如证明中所给:先对HAA对角化(酉对角化),求出变换矩阵V,再令1UAV−=∑即可。3.一般矩阵的奇异值分解定理:设mnrAC×∈,则存在m阶酉矩阵U及n阶酉矩阵V,使161200()()HrOrUAVOOmrrnrσσσ=−−行行列列即12.HrOAUVOOσσσ=17证:首先考虑HAA。因为()()HHrankAArankAArankA==,故HnnrAAC×∈,而且是厄米、半正定的,存在n阶酉矩阵V,使21222().HHrnnOVAAVOOσσσ×=18令12..rOOσσσ=∑,[]12|()VVVrnr=−列列则211122122()()()()()HHHHHHHHHHVAAVVAAVOVAAVVAAVVAAVOO==∑211()HHVAAV=∑12()()HHrnrVAAVO×−=22()()()HHnrnrVAAVO−×−=19令111UAV−=∑则11HUAV=∑,又222()()00HAVAVAV=→=在1U的基础上构造酉矩阵[]12|UUU=,即HUUI=这由前面基扩充定理可知是可行的,1112()22,,HHHrrnrnrUUIUUOUUI×−−===故[]111121222122HHHHHHHUUAVUAVUAVAVVUUAVUAV==其中已知11HUAV=∑而12220,0HHUAVUAV==2(0)AV=20212121()()0HHHUAVUUUU===∑∑故定理得证。奇异值分解的求法可按证明步骤求之。作业:P2251(2),2,5P233121

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