第十二讲-满秩分解与奇异值分解

第十二讲满秩分解与奇异值分解1一、矩阵的满秩分解1.定义：设(0)mnrACr×∈，若存在矩阵mrrFC×∈及rnrGC×∈，使得AFG=，则称其为A的一个满秩分解。说明：（1）F为列满秩矩阵，即列数等于秩；G为行满秩矩阵，即行数等于秩。（2）满秩分解不唯一。rrrDC×∀∈（r阶可逆方阵），则1111()()()AFGFDDGFDDGFG−−====，且11,mrrnrrFCGC××∈∈2.存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明：采用构造性证明方法。设mnrAC×∈，则存在初等变换矩阵mmmEC×∈，2使.......()GrEABOmr==−行行，其中rnrGC×∈将A写成1AEB−=，并把1E−分块成[]1()|rmrEFS−−=列列，其中mrrFC×∈.......GAFSFGO∴==是满秩分解。3.Hermite标准形（行阶梯标准形）3设(0)mnrBCr×∈，且满足（1）B的前r行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后()mr−行的元素全为零（称为零行）；（2）若B中第i行的第一个非零元素（即1）在第ij列(1,2,...,)ir=，则12...rjjj;（3）矩阵B的第1j列，第2j列，…,第rj列合起来恰为m阶单位方阵mI的前r列（即12,,...,rjjj列上除了前述的1外全为0）则称B为Hermite标准形。4例1561356120013001022000111000000000000BC××−=∈−为Hermite标准形45224500102000130000000000BC××=∈也是Hermite标准形54.满秩分解的一种求法设mnrAC×∈，（1）采用行初等变换将A化成Hermite标准形，其矩阵形式为EAB=，其中B为Hermite标准形定义中给出的形状；（2）选取置换矩阵P1P的第i列为ije，即该列向量除第ij个元素为1外，其余元素全为零(1,2,...,)ir=,其中ij为Hermite标准形中每行第一个非零元素（即1）所在的列数；2其它()nr−列只需确保P为置换矩阵即可（P的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；63用P右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可将该矩阵的第ij列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i列4令[]1()|*rnrPP−=列列，即121...rnrjjjrnrPeeeC××=∈（3）令GB=的前r行rnnC×∈，1mrrFAPC×=∈则AFG=证明：GEABO==，[]1|GAEBFSFGO−===则mrrFC×∈，rnrGC×∈，G已知，但?F=，当然可以通过求出1,EE−再将1E−分块得到，但这样G就没必要采用Hermite标准形形式，注意到1rIBPO=，7则[]111|rIAPEBPFSFO−===证毕例2123002111021A=−求其满秩分解解：（1）首先求出A的秩。显然，前两行互相独立，而第三行可由第一行减去第二行得到，故2r=。(2)进行初等变换将A化为Hermite标准型。8[]31230.100|0211.0101021.001AI=−(3)(1)(2)→−+1230.1000211.0100000.111−−(1)(2)→−1021.1100211.0100000.111−−−−(2)/2→91021.110011/21/2.01/200000.111−−−，即11001/20111E−=−,1021011/21/20000B=−,1021011/21/2G=−10(3)求出1P及1AP由B可见，121,2jj==故110010000P=，1120210FAP==验证：1212301021020211011/21/2101021FG==−−11而1120020101E−=二、酉对角分解与奇异值分解1.正规矩阵的谱分解A为正规矩阵，可酉对角化，则存在酉矩阵U，使12HnOUAUOλλλ==Λ12将U写成列向量形式，即[]12...nUuuu=，则[]1122121.......HHnHHniiiiHnnuOuAUUuuuuuOuλλλλ==Λ==∑这种分解形式称为正规矩阵的谱分解。2.非奇异矩阵的酉对角分解定理：设A为n阶非奇异矩阵，则存在n阶酉矩阵U及V，使得1312.,.HnOUAVOσσσ=0(1,2,...,)iinσ=（若将,UV写成[][]1212...,...nnUuuuVvvv==，则H1niiiiAuvσ==∑）证：HAA也为n阶非奇异矩阵，而且是厄米、正定矩阵，故存在n阶14酉矩阵V，使21222()..HHnOVAAVOσσσ=2iσ为HAA的特征值。令12..nOOσσσ=∑，则2HHVAAV=∑15令11,HHHUVAUAV−−=→=∑∑，则11()HHHnUUVAAVI−−==∑∑即U也是酉矩阵，而且1HHHUAVVAAV−==∑∑证毕酉对角分解的求法正如证明中所给：先对HAA对角化（酉对角化），求出变换矩阵V，再令1UAV−=∑即可。3.一般矩阵的奇异值分解定理：设mnrAC×∈，则存在m阶酉矩阵U及n阶酉矩阵V，使161200()()HrOrUAVOOmrrnrσσσ=−−行行列列即12.HrOAUVOOσσσ=17证：首先考虑HAA。因为()()HHrankAArankAArankA==，故HnnrAAC×∈，而且是厄米、半正定的，存在n阶酉矩阵V，使21222().HHrnnOVAAVOOσσσ×=18令12..rOOσσσ=∑，[]12|()VVVrnr=−列列则211122122()()()()()HHHHHHHHHHVAAVVAAVOVAAVVAAVVAAVOO==∑211()HHVAAV=∑12()()HHrnrVAAVO×−=22()()()HHnrnrVAAVO−×−=19令111UAV−=∑则11HUAV=∑，又222()()00HAVAVAV=→=在1U的基础上构造酉矩阵[]12|UUU=，即HUUI=这由前面基扩充定理可知是可行的，1112()22,,HHHrrnrnrUUIUUOUUI×−−===故[]111121222122HHHHHHHUUAVUAVUAVAVVUUAVUAV==其中已知11HUAV=∑而12220,0HHUAVUAV==2(0)AV=20212121()()0HHHUAVUUUU===∑∑故定理得证。奇异值分解的求法可按证明步骤求之。作业：P2251(2)，2，5P233121