1997考研数二真题及解析

Borntowin11997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)已知2(cos),0,(),0xxxfxax在0x处连续,则a.(2)设21ln1xyx,则0xy.(3)(4)dxxx.(4)2048dxxx.(5)已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t的秩为2,则t.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设0x时,tanxxee与nx是同阶无穷小,则n为()(A)1(B)2(C)3(D)4(2)设在区间[,]ab上()0,()0,()0,fxfxfx记12(),()()baSfxdxSfbba,31[()()]()2Sfafbba,则()(A)123SSS(B)231SSS(C)312SSS(D)213SSS(3)已知函数()yfx对一切x满足2()3[()]1xxfxxfxe,若00()0(0),fxx则()(A)0()fx是()fx的极大值(B)0()fx是()fx的极小值(C)00(,())xfx是曲线()yfx的拐点(D)0()fx不是()fx的极值,00(,())xfx也不是曲线()yfx的拐点(4)2sin()sin,xtxFxetdt设则()Fx()Borntowin2(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(5)设22,0,0(),(),[()]2,0,0xxxxgxfxgfxxxxx则为()(A)22,02,0xxxx(B)22,02,0xxxx(C)22,02,0xxxx(D)22,02,0xxxx三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)求极限22411limsinxxxxxx.(2)设()yyx由2arctan25txtytye所确定,求dydx.(3)计算22(tan1)xexdx.(4)求微分方程222(32)(2)0xxyydxxxydy的通解.(5)已知22123,,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.(6)已知111011001A,且2AABE,其中E是三阶单位矩阵,求矩阵B.四、(本题满分8分.)取何值时,方程组1231231232124551xxxxxxxxx无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解.五、(本题满分8分)设曲线L的极坐标方程为()rr,(,)Mr为L上任一点,0(2,0)M为L上一定点,若极径0OMOM、与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上0,MM两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.Borntowin3六、(本题满分8分)设函数()fx在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足()()xfxfx232ax(a为常数),又曲线()yfx与1,0xy所围成的图形S的面积值为2,求函数()yfx,并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.七、(本题满分8分.)已知函数()fx连续,且0()lim2xfxx,设10()()xfxtdt,求()x,并讨论()x的连续性.八、(本题满分8分)就k的不同取值情况,确定方程sin2xxk在开区间(0,)2内根的个数,并证明你的结论.Borntowin41997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】12e【解析】由于()fx在0x处连续,故22ln()ln(cos)lncos0000(0)lim()limlimlimxfxxxxxxxxffxeee22001(sin)lncoslncoscoslimlim20limxxxxxxxxxxeee洛必达0sin1lim2cos2xxxxee【相关知识点】1.函数()yfx在点0x连续：设函数()fx在点0x的某一邻域内有定义,如果00lim()(),xxfxfx则称函数()fx在点0x连续.2.如果函数在0x处连续,则有000lim()lim()()xxxxfxfxfx.(2)【答案】32【解析】题目考察复合函数在某点处的高阶导数,按照复合函数求导法则具体计算如下：21ln(1)ln(1)2yxx,221121()2112(1)1xxyxxxx,2222112(1)(1)xyxx,032xy.【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果()ugx在点x可导,而()yfx在点()ugx可导,则复合函数()yfgx在点x可导,且其导数为()()dyfugxdx或dydydudxdudx.(3)【答案】2arcsin2xC或2arcsin2xC【解析】题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下：方法1：原式222()22arcsin224(2)1()2xddxxCxx=.Borntowin5方法2：原式2224()4()dxdxxxx2222arcsin21()2xdxCx.(4)【答案】8【解析】题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下：原式20022()1224(2)21()2xddxxx0121arctan()222248x.(5)【答案】3【解析】方法1：利用初等变换.以123,,为行构成34矩阵,对其作初等变换：12122332112111211200042204520452121104220030Attt,t因为1232rAr,所以303t,t.方法2：利用秩的定义.由于1232rrA,则矩阵A中任一三阶子行列式应等于零.12312112000452t,应有121121121200420420045045003tttt,Borntowin6CabEDxyOAB解得3t.方法3：利用线性相关性.因为1232r,,rA,故123,,线性相关,以123TTT,,组成的线性齐次方程组1122330TTTxxxBX有非零解,因1231221243132241142212020415102120120044011025003022000TTTtB,,t,tt故0BX有非零解3t.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(C)【解析】题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下：tantan00222311200001limlimtansec1tan1limlimlimlim,33xxxxxnnxxnnnnxxxxeeeexxxxxxxnxnxx洛必达tanxxee与3x同阶,故应选(C).(2)【答案】(D)【解析】方法1：用几何意义.由()0,()0,()0fxfxfx可知,曲线()yfx是上半平面的一段下降的凹弧,()yfx的图形大致如右图.1()baSfxdx是曲边梯形ABCD的面积；2()()Sfbba是矩形ABCE的面积；31[()()]()2Sfafbba是梯形ABCD的面积.由图可见213SSS,应选(D).方法2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的()fx都成立的结果,故可以取满足条件的特定的()fx来观察结果是什么.例如取21(),[1,2]fxxx,则Borntowin72123213211115,,248SdxSSSSSx.【评注】本题也可用分析方法证明如下：由积分中值定理,至少存在一个点,使()()(),bafxdxfbaab成立,再由()0,fx所以()fx是单调递减的,故()(),ffb从而12()()()()()baSfxdxfbafbbaS.为证31SS,令1()[()()]()(),2xaxfxfaxaftdt则()0,a11()()()(()())()2211()()(()())2211()()()()()()221(()())(),2xfxxafxfafxfxxafxfafxxafxaaxfxfxa拉格朗日中值定理由于()0fx,所以()fx是单调递增的,故()()fxf,()0x,即()x在[,]ab上单调递增的.由于()0,a所以()0,[,]xxab,从而1()[()()]()()02babfbfabaftdt,即31SS.因此,213SSS,应选(D).如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证.【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()fx在积分区间[,]ab上连续,则在(,)ab上至少存在一个点,使下式成立：()()()()bafxdxfbaab.这个公式叫做积分中值公式.2.拉格朗日中值定理：如果函数()fx满足在闭区间[,]ab上连续,在开区间,ab内可导,那么在,ab内至少有一点()ab,使等式()()()()fbfafba成立.(3)【答案】(B)【解析】题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下：由0()0fx知0xx为()fx的驻点.把0xx代入恒等式000()1xxfxe,即0001()xefxx.由于分子、分母同号,故0()0fx,因此驻点0xx为极小值点.应选Borntowin8(B).(4)【答案】(A)【解析】由于函数sinsintet是以2为周期的函数,所以,22sinsin0()sinsinxttxFxetdtetdt,()Fx的值与x无关.不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关).估计2sin0sintetdt的值有多种方法.方法1：划分sinsintet取值正、负的区间.22sinsinsin00sinsin00sinsin0()sinsinsinsin(sin)()sinttttuttFxetdtetdtetdtetdteudueetdt当0t时,sin0t,sinsin0,ttee所以()0Fx.选(A).方法2：用分部积分法.22sinsin0022sinsin00220sin2sin200()sincoscoscos(11)cosco