1995考研数二真题及解析

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设221cos()sinyxx,则y＿＿＿＿＿＿.(2)微分方程2yyx的通解为＿＿＿＿＿＿.(3)曲线231xtyt在2t处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.(4)22212lim()12nnnnnnnnnL＿＿＿＿＿＿.(5)曲线22xyxe的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设()fx和()x在(,)内有定义,()fx为连续函数,且()0fx,()x有间断点,则()(A)[()]fx必有间断点(B)2[()]x必有间断点(C)[()]fx必有间断点(D)()()xfx必有间断点(2)曲线(1)(2)yxxx与x轴所围图形的面积可表示为()(A)20(1)(2)xxxdx(B)1201(1)(2)(1)(2)xxxdxxxxdx(C)1201(1)(2)(1)(2)xxxdxxxxdx(D)20(1)(2)xxxdx(3)设()fx在(,)内可导,且对任意12,xx,当12xx时,都有12()()fxfx,则()(A)对任意,()0xfx(B)对任意,()0xfx(C)函数()fx单调增加(D)函数()fx单调增加(4)设函数()fx在[0,1]上()0fx,则(1)(0)(1)(0)ffff、、或(0)(1)ff的大小顺序是()(A)(1)(0)(1)(0)ffff(B)(1)(1)(0)(0)ffff(C)(1)(0)(1)(0)ffff(D)(1)(0)(1)(0)ffff(5)设()fx可导,()()(1|sin|)Fxfxx,若使()Fx在0x处可导,则必有()(A)(0)0f(B)(0)0f(C)(0)(0)0ff(D)(0)(0)0ff三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)求01coslim(1cos)xxxx.(2)设函数()yyx由方程()fyyxee确定,其中f具有二阶导数,且1f,求22dydx.(3)设222(1)ln2xfxx,且[()]lnfxx,求()xdx.(4)设21arctan,0,()0,0,xxfxxx试讨论()fx在0x处的连续性.(5)求摆线1cossinxtytt一拱(02t)的弧长.(6)设单位质点在水平面内作直线运动,初速度00tvv,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t为多少时此质点的速度为03v？并求到此时刻该质点所经过的路程.四、(本题满分8分)求函数20()(2)xtfxtedt的最大值和最小值.五、(本题满分8分)设xye是微分方程()xypxyx的一个解,求此微分方程满足条件ln20xy的特解.六、(本题满分8分)如图,设曲线L的方程为()yfx,且0y,又,MTMP分别为该曲线在点00(,)Mxy处的切线和法线,已知线段MP的长度为32200(1)yy(其中00(),yyx00()yyx),试推导出点(,)P的坐标表达式.七、(本题满分8分)设0sin()xtfxdtt,计算0()fxdx.八、(本题满分8分)设0()lim1xfxx,且()0fx,证明()fxx.xyOTL00(,)Mxy(,)P1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】22222cos()sin12sin()sinxxxxxx【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,222211cos()sincos()sinyxxxx22221111sin()2sincos()2sincos(1)xxxxxxx22222cos()sin12sin()sinxxxxxx.【相关知识点】复合函数求导法则：(())yfx的导数为(())()yfxfx.(2)【答案】12cossin2ycxcxx【解析】微分方程2yyx对应的齐次方程0yy的特征方程为210r,特征根为1,2ri,故对应齐次方程的通解为12cossinCxCx.设非齐次方程的特解Yaxb,则Ya,0Y,代入微分方程2yyx,得02axbx,比较系数得2,0,ab故2Yx.所以通解为12cossin2yCxCxx.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()yx是二阶线性非齐次方程()()()yPxyQxyfx的一个特解.()Yx是与之对应的齐次方程()()0yPxyQxy的通解,则*()()yYxyx是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Yx,可用特征方程法求解：即()()0yPxyQxy中的()Px、()Qx均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,rr；分三种情况：(1)两个不相等的实数根12,rr,则通解为1212;rxrxyCeCe(2)两个相等的实数根12rr,则通解为112;rxyCCxe(3)一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xyeCxCx其中12,CC为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()yPxyQxyfx的一个特解*()yx,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xmfxPxe则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxmyxxQxe的特解,其中()mQx是与()mPx相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos()sin]xlnfxePxxPxx,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()ypxyqxyfx的特解可设为*(1)(2)[()cos()sin]kxmmyxeRxxRxx,其中(1)()mRx与(2)()mRx是m次多项式,max,mln,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.(3)【答案】370yx【解析】切线的斜率为2222233322ttttdydytdttdxdxtdt.当2t时,5,8xy.故所求切线方程为83(5)yx.化简得370yx.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()xtyt,则()()dytdxt.(4)【答案】12【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令2221212nnannnnnnn则22212nnannnnnnnnn221(1)1222211.22nnnnnnnnn又222221(1)1212122nnnnnannnnnnnnnn,即111222nnan,所以11111limlimlim22222nnnnnan.由夹逼准则,得1lim2nna.即222121lim()122nnnnnnnnn.(5)【答案】0y【解析】函数22xyxe的定义域为全体实数,且22limlim0xxxyxe,所以曲线只有一条水平渐近线0y.【相关知识点】铅直渐近线：如函数()yfx在其间断点0xx处有0lim()xxfx,则0xx是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim()xfxa(a为常数),则ya为函数的水平渐近线.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续.设函数()()xfx无间断点,因为()fx是连续函数,则()()()()xxfxfx必无间断点,这与()x有间断点矛盾,故应选择(D).方法二：排除法,举出反例排除.设1,0,()1,()1,0,xfxxx则2[()]1,[()]1,[()]1fxfxx都处处连续,排除(A),(B),(C).故应选择(D).(2)【答案】(C)【解析】方法一：利用定积分的求面积公式有2200(1)(2)(1)(2)xxxdxxxxdx1201(1)(2)(1)(2)xxxdxxxxdx应选择(C).方法二：画出曲线(1)(2)yxxx的草图,所求面积为图中两面积之和,即1201(1)(2)(1)(2)xxxdxxxxdx,故应选(C).(3)【答案】(D)【解析】因为对任意12,xx,当12xx时,12xx,则函数12()()fxfx,即12()()fxfx,故()fx是单调增加的.应选择(D).对于(A)(B)(C)可令3()fxx,则对任意12,xx,当12xx时,都有12()()fxfx,但20(0)30xfx,2()3()0fxx,3()fxx,在其定义域内单调减少.故排除(A)(B)(C).(4)【答案】(B)【解析】由()0fx可知()fx在区间[0,1]上为严格的单调递增函数,故(1)()(0),(01)ffxfx由微分中值定理,(1)(0)(),(01)fff.所以(1)(1)(0)()(0)fffff,(01)应选择(B).(5)【答案】(A)【解析】函数()fx在0xx处可导的充分必要条件是0()fx与0()fx存在且相等.由于()()()|sin|Fxfxfxx,而()fx可导,所以()Fx在0x处可导等价于()|sin|fxx在0x可导.令()()|sin|xfxx,则0000()|sin|()sin(0)limlim(0),()|sin|()sin(0)limlim(0),xxxxfxxfxxfxxfxxfxxfxx于是要使()Fx在0x处可导,当且仅当(0)(0)ff,即(0)0f.故选择(A).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)【解析】利用等价无穷小计算,即当0x时,sinxx.原式222000222sin1cos111122limlimlim2221cos1cos2sin222xxxxxxxxxxxxx.(2)【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数.方法一：将方程两边对x求导,得()()()fyfyyexefyyey,即()()()fyyfyeyexfye,将()fyyxee代入并化简,得1(1())yxfy.两边再对x求导,得220(1())(1())(())(1())(1())xfyfyxfyyyxfyxfy221()(1())(1())yfyxfyxfy.将1(1())yxfy