1994考研数二真题及解析

Borntowin1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)若2sin21,0,(),0axxexfxxax在(,)上连续,则a＿＿＿＿＿＿.(2)设函数()yyx由参数方程32ln(1),xttytt所确定,则22dydx＿＿＿＿＿＿.(3)cos30()xdftdtdx＿＿＿＿＿＿.(4)23xxedx＿＿＿＿＿＿.(5)微分方程2(4)0ydxxxdy的通解为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设220ln(1)()lim2xxaxbxx,则()(A)51,2ab(B)0,2ab(C)50,2ab(D)1,2ab(2)设322,1()3,1xxfxxx,则()fx在点1x处的()(A)左、右导数都存在(B)左导数存在,但右导数不存在(C)左导数不存在,但右导数存在(D)左、右导数都不存在(3)设()yfx是满足微分方程sin0xyye的解,且0()0fx,则()fx在()(A)0x的某个领域内单调增加(B)0x的某个领域内单调减少(C)0x处取得极小值(D)0x处取得极大值(4)曲线2121arctan(1)(2)xxxyexx的渐近线有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条Borntowin(5)设43422222sincos,(sincos)1xMxdxNxxdxx,23422(sincos)Pxxxdx,则有()(A)NPM(B)MPN(C)NMP(D)PMN三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)设()yfxy,其中f具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求22dydx.(2)计算31420(1)xxdx.(3)计算2limtan()4nnn.(4)计算sin22sindxxx.(5)如图,设曲线方程为212yx,梯形OABC的面积为D,曲边梯形OABC的面积为1D,点A的坐标为(,0)a,0a,证明：132DD.四、(本题满分9分)设当0x时,方程211kxx有且仅有一个解,求k的取值范围.五、(本题满分9分)设324xyx,(1)求函数的增减区间及极值；(2)求函数图像的凹凸区间及拐点；(3)求其渐近线；(4)作出其图形.xOABCy212yxBorntowin六、(本题满分9分)求微分方程2sinyayx的通解,其中常数0a.七、(本题满分9分)设()fx在[0,1]上连续且递减,证明：当01时,100()()fxdxfxdx.八、(本题满分9分)求曲线23|1|yx与x轴围成的封闭图形绕直线3y旋转所得的旋转体体积.Borntowin1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】2【解析】2sin21axxex在0x时是初等函数,因而连续；要使()fx在(,)上连续,()fx在0x处也连续,这样必有0lim()(0)xfxf.由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,0x时,sinxx；1xex.2200sin21sin21limlim()axaxxxxexexxx0022limlim22xxxaxaaxx,从而有2a.(2)【答案】(1)(65)ttt【解析】dydydtdydxdtdtdxdtdx2232352111ttyttttxt,()65(1)(65)111xtxxtytttyxtt.【相关知识点】复合函数求导法则：如果()ugx在点x可导,而()yfx在点()ugx可导,则复合函数()yfgx在点x可导,且其导数为()()dyfugxdx或dydydudxdudx.(3)【答案】3sin3(cos3)xfx【解析】原式(cos3)(cos3)(cos3)(sin3)33sin3(cos3)fxxfxxxfx.【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttFtfxdx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()Fttfttft.(4)【答案】221(1)2xxeC,其中C为任意常数Borntowin【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是2xe先进入积分号,原式22222211()()22xxxxdexeedx221(1)2xxeC其中C为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()uux与()vvx均具有连续的导函数,则,uvdxuvuvdx或者.udvuvvdu(5)【答案】4(4)xyCx,C为任意常数【解析】这是可分离变量的方程.分离变量得0(4)dxdyxxy,两项分别对x和对y积分得到114lnln,4xyCx化简有44xyCx,即4(4)xyCx,C为任意常数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(A)【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得2222ln(1)()(())()2xxaxbxxoxaxbx221(1)()()2axbxox,由假设,应该有101()22ab,故由此51,2ab,故应选(A).方法2：用洛必达法则.220ln(1)()limxxaxbxx为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以,Borntowin0121lim2xabxxx原式左边20(1)(2)2lim2(1)xaabxbxxx(若10a,则原式极限为,必有10a)122,2b51,2ab.故应选(A).(2)【答案】(B)【解析】方法1：因32(),(1)()3fxxxfx左可导,312(1)23xfx.又211lim()lim1(1)()xxfxxffx不右连续()fx在1x的右导数不存在,故选(B).方法2：2(1)3f,而211lim()lim1(1)xxfxxf,所以,()fx在1x点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.2113112()(1)3(1)limlim,1122()(1)33(1)limlim2.11xxxxxfxffxxxfxffxx故()fx在1x点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B).(3)【答案】(C)【解析】由于()fx满足微分方程sin0xyye,当0xx时,有0sin00()()xfxfxe.又由0()0fx,有0sin0()0xfxe,因而点0x是()fx的极小值点,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】用换元法求极限,令1tx,则当x时,0t,且有2201limlimarctan,(1)(12)4txtttyett0limxy,Borntowin所以y轴和4y是曲线的两条渐近线.而1x和2x并非曲线的渐近线,因当1x和2x时,y分别趋向于2e和142e.故应选(B).【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim()xfxa,则ya为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim()xafx,则xa为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]xxfxabfxaxx存在且不为,则yaxb为斜渐近线.(5)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M,且由定积分的性质,如果在区间,ab上,被积函数()0fx,则()0()bafxdxab.所以4202cos0Nxdx,4202cos0PxdxN.因而PMN,应选(D).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】方程两边对x求导,得(1)yfy,两边再求导,得2(1)yfyfy,由于一阶导数不等于1,所以10f.以1fyf代入并解出y,得3(1)fyf.【相关知识点】复合函数求导法则：如果()ugx在点x可导,而()yfx在点()ugx可导,则复合函数()yfgx在点x可导,且其导数为()()dyfugxdx或dydydudxdudx.(2)【解析】用换元积分法.Borntowin观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.令2sinxt,则2cosxdxtdt.当0x时,0t；当1x时,2t,故原式4201cos2tdt1313()242232.【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：2200(1)!!,!!2sincos(1)!!,!!nnnnnnIxdxxdxnnn为偶数为奇数，.注：对于双阶乘!!n的定义如下:当n为奇数时,!!13nn；当n为偶数时,!!24nn.(3)【解析】方法1：用三角函数公式将2tan()4n展开,再化为重要极限1lim(1)xxex的形式,利用等价无穷小因子替换,即0x时,tanxx,从而求出极限.221tan2tan2limtan()limlim12241tan1tannnnnnnnnnnn221tan4tan124tan22212tan1tanlim221tan422tanlim121tannnnnnnnnnnneen.方法2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式limln()lim()xfxxefx.因为221tan2tan2limlntan()limlnlimln12241tan1tannnnnnnnnnnn222tantan4limlim42221tan1tannnnnnnnn,于是2lntan()442limtan()lim4nnnnneen.(4)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin22sincos,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得Borntowinsin22sin2sin(cos1)dxdxxxxx22sin11cos2sin(cos1)2(1)(1)xdxxuduxxuu(22sin1cosxx)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)uududuuuuuu12ln|1|ln|1|8(1)uuCu12ln1cosln1cos81cosxxCx,其中C为任意常数.方法2：换元cosxu后,有原式22s