1993考研数二真题及解析

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)0limlnxxx＿＿＿＿＿＿.(2)函数()yyx由方程222sin()0xxyexy所确定,则dydx＿＿＿＿＿＿.(3)设11()(2)(0)xFxdtxt,则函数()Fx的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿.(4)tancosxdxx＿＿＿＿＿＿.(5)已知曲线()yfx过点1(0,)2,且其上任一点(,)xy处的切线斜率为2ln(1)xx,则()fx＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当0x时,变量211sinxx是()(A)无穷小(B)无穷大(C)有界的,但不是无穷小(D)有界的,但不是无穷大(2)设2|1|,1,()12,1,xxfxxx则在点1x处函数()fx()(A)不连续(B)连续,但不可导(C)可导,但导数不连续(D)可导,且导数连续(3)已知2,01,()1,12,xxfxx设1()()xFxftdt(02)x,则()Fx为()(A)31,013,12xxxx(B)311,0133,12xxxx(C)31,0131,12xxxx(D)311,01331,12xxxx(4)设常数0k,函数()lnxfxxke在(0,)内零点个数为()(A)3(B)2(C)1(D)0(5)若()()fxfx,在(0,)内()0,()0fxfx,则()fx在(,0)内()(A)()0,()0fxfx(B)()0,()0fxfx(C)()0,()0fxfx(D)()0,()0fxfx三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)设2sin[()]yfx,其中f具有二阶导数,求22dydx.(2)求2lim(100)xxxx.(3)求401cos2xdxx.(4)求30(1)xdxx.(5)求微分方程2(1)(2cos)0xdyxyxdx满足初始条件01xy的特解.四、(本题满分9分)设二阶常系数线性微分方程xyyye的一个特解为2(1)xxyexe,试确定常数,,,并求该方程的通解.五、(本题满分9分)设平面图形A由222xyx与yx所确定,求图形A绕直线2x旋转一周所得旋转体的体积.六、(本题满分9分)作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h为何值时,其体积V最小,并求出该最小值.七、(本题满分6分)设0x,常数ae,证明()aaxaxa.八、(本题满分6分)设()fx在[0,]a上连续,且(0)0f,证明：20()2aMafxdx,其中0max|()|xaMfx.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】0【解析】这是个0型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解.000021lnlimlnlimlimlim011xxxxxxxxxxx洛.(2)【答案】222222cos()2cos()2xyexxyyxyxy【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程222sin()0xxyexy两边对x求导,得222cos()(22)20xxyxyyeyxyy,化简得222222cos()2cos()2xyexxyyyxyxy.【相关知识点】复合函数求导法则：如果()ugx在点x可导,而()yfx在点()ugx可导,则复合函数()yfgx在点x可导,且其导数为()()dyfugxdx或dydydudxdudx.(3)【答案】104x【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.将函数11()(2),xFxdtt两边对x求导,得1()2Fxx.若函数()Fx严格单调减少,则1()20Fxx,即12x.所以函数()Fx单调减少区间为104x.【相关知识点】函数的单调性：设函数()yfx在[,]ab上连续,在(,)ab内可导.(1)如果在(,)ab内()0fx,那么函数()yfx在[,]ab上单调增加；(2)如果在(,)ab内()0fx,那么函数()yfx在[,]ab上单调减少.(4)【答案】1/22cosxC【解析】32tansinsincoscoscoscosxxdxdxxxdxxxx3122coscos2cosxdxxC.(5)【答案】222111(1)ln(1)222xxx【解析】这是微分方程的简单应用.由题知2ln(1)dyxxdx,分离变量得2ln(1)dyxxdx,两边对x积分有2221ln(1)ln(1)(1)2yxxdxxdx.由分部积分法得2222221112ln(1)(1)(1)ln(1)(1)2221xxdxxxxdxx222221(1)ln(1)211(1)ln(1).22xxxdxxxxC因为曲线()yfx过点1(0,)2,故12C,所以所求曲线为222111(1)ln(1)222yxxx.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】因为当0x时,1sinx是振荡函数,所以可用反证法.若取11kxk,则221111sin()sin0kkkkxx,211(2)2kxk,则22222111sin(2),(1,2,,)2kkkkxx.因此,当k时,有10kx及20kx,但变量211sinxx或等于0或趋于,这表明当0x时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确.(2)【答案】(A)【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在0x处连续,则有000lim()lim()()xxxxfxfxfx.由题可知221111|1|1lim()limlimlim(1)211xxxxxxfxxxx,221111|1|1lim()limlimlim(1)211xxxxxxfxxxx.因()fx在1x处左右极限不相等,故在1x处不连续,因此选(A).(3)【答案】(D)【解析】这是分段函数求定积分.当01x时,01xt,故2()ftt,所以23311111()()(1)33xxxFxftdttdttx.当12x时,12,tx故()1ft,所以111()()11xxxFxftdtdttx.应选(D).(4)【答案】(B)【解析】判定函数()fx零点的个数等价于判定函数()yfx与x的交点个数.对函数()lnxfxxke两边对x求导,得11()fxxe.令()0fx,解得唯一驻点xe,即()0,0;(),()0,;(),fxxefxfxexfx严格单调增加严格单调减少所以xe是极大值点,也是最大值点,最大值为()ln0efeekke.又因为00lim()lim(ln)lim()lim(ln)xxxxxfxxkexfxxke,由连续函数的介值定理知在(0,)e与(,)e各有且仅有一个零点(不相同).故函数()lnxfxxke在(0,)内零点个数为2,选项(B)正确.(5)【答案】(C)【解析】方法一：由几何图形判断.由()(),fxfx知()fx为奇函数,图形关于原点对称；在(0,)内()0,()0,()fxfxfx图形单调增加且向上凹,根据图可以看出()fx在(,0)内增加而凸,()0,()0fxfx,选(C).方法二：用代数法证明.对恒等式()()fxfx两边求导,得()(),()()fxfxfxfx.当(,0)x时,有(0,)x,所以()()0,()()0fxfxfxfx,故应选(C).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】222sin[()]cos[()]()2yfxfxfxx,22cos[()]()2yfxfxx2222cos[()]()2cos[()]()2fxfxxfxfxx22cos[()]()(2)fxfxx2222222sin[()][()](2)cos[()]()(2)fxfxxfxfxx22cos[()]()2fxfx.【相关知识点】复合函数求导法则：如果()ugx在点x可导,而()yfx在点()ugx可导,则复合函数()yfgx在点x可导,且其导数为()()dyfugxdx或dydydudxdudx.(2)【解析】应先化简再求函数的极限,2222(100)(100)lim(100)lim100xxxxxxxxxxxx22100100limlim11001001xxxxxxx.因为0x,所以22100100100limlim50111110011001xxxxx.(3)【解析】先进行恒等变形,再利用基本积分公式和分部积分法求解.2444000sec1tan1cos222xxxdxdxxdxx4440001111sintantan(0)22242cosxxxxdxdxx4400111cosln(cos)82cos82dxxx1121[ln(cos)ln(cos0)]lnln282482284.(4)【解析】用极限法求广义积分.2333000(1)1[(1)(1)](1)(1)(1)xxdxdxxxdxxx12200121(1)(1)lim22(1)bbxxxx221111lim02(1)222bbb.(5)【解析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是2222cos,1011xxyyxxx,通解为2222112cos[]1xxdxdxxxxyeedxCx2222(1)(1)112cos1dxdxxxxeedxCx221sincos11xCxdxCxx.代入初始条件01xy,得2sin0101C,所以1C.所求特解为2sin11xyx.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()ypxyqx的通解公式为:()()(())pxdxpxdxyeqxedxC,其中C为常数.四、(本题满分9分)【解析】要确定常数,,,只需将特解代入原微分方程后,用比较系数法即得.对于特解2(1)xxyexe,有222(1)2(2)xxxxxyeexeexe,2222(2)4(2)4(3)xxxxxxxyexeeexeexe,代入方程xyyye,得恒等式