状态重构问题与Luenberger状态观测器

《现代控制理论基础》第五章(讲义)15.5状态重构问题与Luenberger状态观测器前已指出，对于状态完全能控的线性定常系统，可以通过线性状态反馈任意配置闭环系统的极点。事实上，不仅是极点配置，而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制(LQ)问题等，也都可由状态反馈实现。然而，在5.2节介绍极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要估计不可量测的状态变量。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。观测器分为全维状态观测器降维状态观测器最小阶状态观测器或最小阶观测器《现代控制理论基础》第五章(讲义)25.5.1问题的提法在下面有关状态观测器的讨论中，我们用x~表示被观测的状态向量。在许多实际情况中，一般将被观测的状态向量用于状态反馈，以便产生期望的控制输入。考虑如下线性定常系统BuAxx(5.27)Cxy(5.28)假设状态向量x可由如下动态方程)~(~~xCyKBuxAxe(5.29)中的状态x~来近似，则该式表示状态观测器，其中eK称为观测器的增益矩阵。注意到状态观测器的输入为y和u，输出为x~。式（5.29）中右端最后一项包括可量测输出y与估计输出x~C之差的修正项。矩阵eK起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量x~。当此模型使用的矩阵A和B与实际系统使用的矩阵A和B之间存在差异时，由于动态模型和实际系统之间的差别，该附加修正项将减小这些影响。图5.5所示为带全维状态观测器的系统方块图。《现代控制理论基础》第五章(讲义)3图5.5全维状态观测器方块图5.5.2全维状态观测器的误差方程在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式（5.27）和（5.28）定义。观测器的方程由式（5.29）定义。为了得到观测器的误差方程，将式（5.27）减去式（5.29），可得)~(~~xCCxKxAAxxxe)~)((xxCKAe(5.30)定义x与x~之差为误差向量，即xxe~《现代控制理论基础》第五章(讲义)4则式（5.30）可改写为eCKAee)((5.31)由式（5.31）可看出，误差向量的动态特性由矩阵CKAe的特征值决定。如果矩阵CKAe是稳定矩阵，则对任意初始误差向量)0(e，误差向量)(te都将趋近于零。也就是说，不管)0(x和)0(~x的值如何，)(~tx都将收敛到)(tx。如果所选的矩阵CKAe的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量)(te都将以足够快的速度趋近于零(原点)，此时将)(~tx称为)(tx的渐近估计或重构。如果系统完全能观测，下面将证明可以通过选择eK，使得CKAe具有任意的期望特征值。也就是说，可以确定观测器的增益矩阵eK，以便产生期望的矩阵CKAe。5.5.3对偶问题全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵eK，使得由式（5.31）定义的误差动态方程，以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵CKAe的特征值决定）。因此，全维观测器的《现代控制理论基础》第五章(讲义)5设计就归结为如何确定一个合适的eK，使得CKAe具有期望的特征值。此时，全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与5.2节讨论的极点配置相同的问题。考虑如下的线性定常系统CxyBuAxx在设计全维状态观测器时，我们可以求解其对偶问题。也就是说，求解如下对偶系统zBnCzAzTTT的极点配置问题。假设控制输入为Kz《现代控制理论基础》第五章(讲义)6如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵K，使得反馈闭环系统的系统矩阵KCATT得到一组期望的特征值。如果1,2,…,n是状态观测器系统矩阵的期望特征值，则可通过取相同的i作为其对偶系统的状态反馈闭环系统的期望特征值，从而)())(()(21nTTsssKCAsI注意到KCATT和CKAT的特征值相同，即有)()(CKAsIKCAsITTT比较特征多项式)(CKAsIT和观测器的系统矩阵（参见式（5.31））的特征多项式)(CKAsIe，可找出eK和TK的关系为TeKK《现代控制理论基础》第五章(讲义)7因此，观测器问题与极点配置问题具有对偶关系，即TeTTTKKCCBBAA,,,在下面的讨论中，我们就可将给定线性定常系统的观测器设计问题，考虑为其对偶系统的极点配置问题，即首先由极点配置方法确定出其对偶系统的极点配置增益矩阵K，然后利用关系式TeKK，确定出原系统的观测器增益矩阵K。5.5.4可观测条件如前所述，对于使CKAe具有期望特征值的观测器增益矩阵eK的确定，其充要条件为原给定系统的对偶系统vCzAzTT是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的充要条件为])([1TnTTTTCACAC《现代控制理论基础》第五章(讲义)8的秩为n。而这正是由式(5.27)和(5.28)定义的原系统的状态完全能观测性条件。这意味着。由式（5.27）和(5.28)定义的系统的状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。下面将利用上述对偶关系，介绍全维状态观测器的设计算法，包括相应的Bass-Gura算法、直接代入法，以及爱克曼公式。5.5.5全维状态观测器的Bass-Gura算法考虑由下式定义的单输入单输出线性定常系统BuAxx(5.32)Cxy(5.33)式中，nnnnnRCRBRARyRuRx1111,,,,,。假设系统是状态完全能观测的，又设系统结构如图5.5所示。在设计全维状态观测器时，若将式(5.32)、(5.33)给出的系统变换为能观测标准形，则相应的设计问题就相当方便了。考虑对偶关系，将式（5.32）和（5.33）的系统《现代控制理论基础》第五章(讲义)9变换为能观测标准形，可按下列步骤进行，即首先定义一个变换矩阵P，使得1)(WRP(5.34)式中R是能观测性矩阵])([1TnTTTTTCACACR(5.35)且对称矩阵W由式（5.6）定义，即0001001011132121aaaaaaWnnnn式中，ia是由式（5.32）给出的如下特征方程的系数0111nnnnasasasAsI《现代控制理论基础》第五章(讲义)10显然，由于假设系统是完全能观测的，所以矩阵WR的逆存在。现定义一个新的n维状态向量ξPx(5.36)则式（5.32）和（5.33）为BuPAPP11(5.37)CPy(5.38)式中111100001000aaaAPPnn(5.39)oonnonnbabbabbabBP11111(5.40)]1000[CP(5.41)《现代控制理论基础》第五章(讲义)11式（5.39）到（5.41）的推导见例5.7和5.8，此时式（5.37）和（5.38）即是能观测标准形。从而给定一个系统的状态方程和输出方程，如果系统是完全能观测的，并且通过采用式（5.36）的变换，将原系统的状态向量x变换为新的状态向量ξ，则可将给定系统的状态方程和输出方程变换为能观测标准形。注意，如果矩阵A已经是能观测标准形，则P=I。如前所述，选择由)~(~~xCyKBuxAxe=CxKBuxCKAee~)((5.42)给出的状态观测器的动态方程。现定义~~Px(5.43)将式（5.43）代入式（5.42），有CPKPBuPPCKAPee111~)(~(5.44)《现代控制理论基础》第五章(讲义)12由式（5.37）减去式（5.44），可得)~()(~1PCKAPe(5.45)定义~则式（5.45）为PCKAPe)(1(5.46)要求误差动态方程是渐近稳定的，且)(t以足够快的速度趋于零。因此，确定矩阵eK的步骤是：首先选择观测器的极点（CKAe的特征值），然后确定eK，使其等于期望的观测器极点。注意WRP1，可得nnnnnnnnekkkkCACACACaaaaaaKP1211213212110001001011式中《现代控制理论基础》第五章(讲义)13nekkkK21由于eKP1是一个n维向量，则令111nneKP(5.47)参考式（5.41），有11111000000000]100[nnnneCPKP和CPKPAPPPCKAPee111)(《现代控制理论基础》第五章(讲义)14112211100010001000aaaannnnnn特征方程为0)(1PCKAPsIe即01000010001000112211asasasasnnnnnn或者0)()()(222111nnnnnasasas(5.48)可见，每个δi只与特征方程中的一个系数有关。假设误差动态方程的期望特征方程为0)())((**12*21*121nnnnnnasasasassss(5.49)《现代控制理论基础》第五章(讲义)15注意，期望的特征值i确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。比较式（5.48）和(5.49)的s同幂项的系数，可得nnnaaaaaa222111从而可得nnnaaaaaa222111于是，由式（5.47）得到1*11*1*111aaaaaaKPnnnnnne因此《现代控制理论基础》第五章(讲义)161*11*1*11*11*1*)(aaaaaaWRaaaaaaPKnnnnnnnne(5.50)式（5.50）确定了所需的状态观测器增益矩阵eK。如前所述，式（5.50）也可通过其对偶问题由式（5.13）得到。也就是说，考虑对偶系统的极点配置问题，并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵K。那么，状态观测器的增益矩阵eK可由TK确定（见例5.16）。一旦选择了期望的特征值（或期望的特征方程），只要系统状态完全能观测，就能设计出全维状态观测器。Luenberger曾经指出，当观测器期望极点的选择，使衰减太快，即使CKAe特征值的实部太负，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能容忍地将高频噪声分量放大，而且也存在观测器的可实现性问题(因为衰减速度太快，则矩阵eK较大)，因此Luenberger建议，进行观测器本身的极点配置时，只需使观测器的期望极点比由此组成的闭环反馈系统BKA的特征值稍大一《现代控制理论基础》第五章(讲义)17些即可。一般地，选择的期望特征值，应使状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快2-5倍。如前所述，全维状态观测器的方程为KyBuxCKAxe~)(~(5.51)注意，迄今为止，我们假设观测器中的矩阵A和B与实际系统中的严格相同。实际上，这做不到。因此，误差动态方程不可能由式（5.46）给出，这意味着误差不