大一高数导数的概念

1引例导数的定义导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系求导举例第一节导数的概念(derivative)第二章导数与微分2例1直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动,已知路程s与时间t的试确定t0时的瞬时速度v(t0).一、引例).(tss关系),()(00tsttss)(tv这段时间内的平均速度在每个时刻的速度.解.ts若运动是匀速的,平均速度就等于质点质点走过的路程,00ttt从时刻3它越近似的定义为)(0tv,)()(lim000ttsttst并称之为t0时的瞬时速度v(t0).若运动是非匀速的,)(tv平均速度是这段时间内运动快慢的平均值,t越小,表明t0时运动的快慢.因此,人们把t0时的速度ts0limt此式既是它的定义式,又指明了它的计算瞬时速度是路程对时间的变化率.注方法,40x处切线的斜率.00(,)Mxy已知曲线的方程确定点如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,C在点M处的切线.如图,),(xfyxTxyO)(xfyCNM割线的极限位置——切线位置.例2曲线在一点的切线问题5),,(00yxM设00tanxxyy,)()(00xxxfxfNtank00)()(xxxfxf).,(yxN割线MN的斜率为,0xx切线MT的斜率为C沿曲线,M0xxTxyO)(xfyCNM0limxx7定义的某个邻域内在点设函数0)(xxfyxxfxxfxy)()(00的称为)(xf,00时变到当自变量从xxx)()()(00xfxxfyxfy的增量函数之比变量的增量x与自平均变化率.二、导数的定义,有定义8,0x如处可导在并说0)(xxfxy存在,平均变化率的极限:)1()()(lim000xxfxxfx0limx.)(0处的导数在xxf(derivative)或有导数.则称此极限值为,0xxy)(0xf或,dd0xxxy0d)(dxxxxf可用下列记号处不可导或导数不存在.当极限(1)式不存在时,就说函数f(x)在x09注：当(1)式的极限为有时也说在x0处导数是正(负)无穷大,正(负)无穷时,但这时导数不存在.10注导数定义可以写成多种形式:,)()(lim)(0000xfxfxf.)()(lim)(0000xfxfxfhhhhhh)(0xf或xxfxxfxfx)()(lim)(0000xx0,)()(lim000xxxfxfxx0xx)0(f特别，.)0()(lim0xfxfx11关于导数的说明(1)点导数是因变量在点x0处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.(2)如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导.,y记作),(xfxydd.d)(dxxf或(3)对于任一都对应着f(x)的一个确定的导数值.,Ix这个函数叫做原来函数f(x)的导函数.12xxfxxfyx)()(lim0.)()(lim)(0hxfhxfxfh注)(0xf即或)(xf0xx13例用导数表示下列极限.5)()3(lim,)()1(0xafxafaxxfx求可导在设.2)()(lim,2)()2(0hafhafafh求已知15右导数4.单侧导数左导数)(0xf)(0xf000()()lim;xfxxfxx000()()lim.xfxxfxx000()()limxxfxfxxx000()()limxxfxfxxx(leftderivative)(rightderivative)0()fx0()fx16处的可导性.处可导在0)(xxf,)()(00都存在和右导数左导数xfxf且相等此性质常用于判定分段函数在分段点)(af且)(bf和.],[)(上可导在闭区间就说baxf如果)(xf在开区间),(ba内可导,都存在,17求增量)1(算比值)2(求极限)3(三、求导举例(几个基本初等函数的导数)步骤);()(xfxxfy;)()(xxfxxfxy.lim0xyyx18例.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(00limh.00)(C即CCh0)(C19和差化积公式：sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin2220例,sin)(xxf设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx.)(sin)(sin4xxx及求即同理可得.sin)(cosxx21例.)(的导数为正整数求函数nxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx1)(nnnxx即更一般地)(.)(1Rxx如)(1x11)1(x21x22例.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaaxaaaxxln)(.)(xxee即01lim,hhah1,hat令(1)logtah(1)00a1limlimloglnhthtatha＝23例.)1,0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim01(log)lnaxxa.1)(lnxx0log(1)limahhxh0ln(1)limlnhhxha0limlnhhxha即1.lnxa24例.0||)(处的可导性在讨论函数xxxf解,||)0()0(hhhfhfhfhfh)0()0(lim0,1hfhfh)0()0(lim0.1),0()0(ff.0)(点不可导在函数xxfy即hhh0limhhh0limxyxyO251.几何意义表示)(0xf)(,tan)(0为倾角xf)(xfy曲线,))(,(00切线的斜率处的在点xfxM即四、导数的几何意义与物理意义0xxyO)(xfyCTM26特别地:))(,()(,0)()1(000xfxxfyxf在点则曲线若;轴的切线平行于Ox,)()2(0xf若))(,()(00xfxxfy在点则曲线.轴的切线垂直于Ox).)((000xxxfyy.0)()()(10000xfxxxfyy:))(,()(00处的切线方程为在点曲线xfxxfy:))(,()(00的法线方程为在点曲线xfxxfy27例,)2,21(1斜率处的切线的在点求等边双曲线xy解得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4.方程和法线方程并写出在该点处的切线由导数的几何意义,所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx.01582yx即即282.物理意义路程对时间的导数为物体的瞬时速度;.ddlim)(0tststvt变速直线运动30该点必连续.定理如果函数则函数在五、可导与连续的关系在点x处可导,)(xf证,)(可导在点设函数xxf)(lim0xfxyx)(xfxyxxxfy)(0limx0.)(连续在点函数xxf)0(0x即根据函数极限与无穷小的关系，可知所以,][lim0x31如,,0处不可导但在x该定理的逆定理不一定成立.注,0)(处连续在xxxf.)(0的角点为xfx连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.xyxyO32例.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性在讨论函数xxxxxxf解,1sin是有界函数x01sinlim0xxx.0)(处连续在xxf0)(lim)0(0xffx,0处在xxy,1sinx,0时当x.0)(处不可导在xxfxx01sin)0(x001limsin,xx不存在33.,,,)(002xxbaxxxxxf当当设为了使f(x)在x0处可导,解首先函数必须在x0处连续.由于)(lim0xfxx)(lim0xfxx)(0xf故应有.200xbax,20x,0bax.20x应如何选取a,b?34又因)(0xf000()()limxxfxfxxx02200limxxxxxx02x)(0xf000()()limxxfxfxxx0200()limxxaxbxxx000()()limxxaxbaxbxx200xbax000limxxaxaxxxa)(0xf02x从而,当,20xaf(x)在x0处可导.,20xb35导数的实质:增量比的极限;导数的几何意义:切线的斜率;函数可导一定连续，但连续不一定可导;求导数最基本的方法:由定义求导数.六、小结;)()()(000axfxfaxf36判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.37思考题(是非题),)(.10点可导在若xxf?|)(|0点必可导是否在xxf非,)(xxf如处在0x可导;但|)(|xf处在0x不可导.38,|)(|.20点可导在若xxf?)(0点必可导在是否xxf非，如0,10,1)(xxxf1|)(|xf处可导；在0x但)(xf处在0x不可导.39作业习题2-1(86页)6；9（偶）；11；14；16；171，2，3写在书上