5------第三章-连续LTI特征函数、傅里叶级数

浙江大学控制科学与工程学系信号与系统SignalsandSystems第三章连续时间信号与系统的频域分析Chapter3TheFrequencyDomainAnalysisofContinuousSignalandSystem本科教学课程网站：概述2卷积法是在时域将任一信号表示成一组移位的冲激信号的线性组合tdtxtx)()()(LTI系统的叠加性和时不变特性和系统对δ(t)信号的响应h(t)系统对输入信号x(t)的响应:tdthxthtxty)()()(*)()(本章开始讨论变换域：将信号表示为一组基本信号(复指数信号est）的线性组合LTI系统的叠加性和时不变特性系统对复指数信号的响应H(s)est系统对输入信号x(t)的响应:ktskkeatx)(ktskkkesHaty)()(LTI系统分析的基本方法kknkxnx][][][3将输入信号表示成基本信号的线性组合：时域法：dtxtx)()()(频域法：ktskkeatx)(LTI系统的时不变性和叠加性单位冲激响应h(t)/h[n]系统的输出(零状态）：dthxthtxty)()()(*)()(时域法：频域法：ktskkkesHaty)()(这章分析：1）如何用est/zn表示一般连续/离散信号，适用信号范围?2）LTI系统从时域分析转化为在变换域分析的方法knkkzanx][kknhkxnhnxny][][][*][][knkkkzzHany)(][控制科学与工程学系2011/3/23第三章4单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式4本章主要内容(1)连续时间LTI系统的特征函数（P54-55,2.3.5)(2)连续时间周期信号的傅里叶级数表示(3)非周期信号的表示：连续时间信号的傅里叶变换(4)周期信号的傅里叶变换(5)傅里叶变换的性质(6)连续时间LTI系统的频域分析LTI系统的特征函数与特征值（0）5定义：特征函数——指系统对该信号（例如复指数信号）的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以该信号。特征值——系统对特征函数（输入信号）的输出响应中的常数（幅度因子）称为系统的特征值（系统函数）LTI系统kkk输入函数输出k––特征函数k––特征值或系统函数(传递函数）LTI系统分析的基本方法:时域;频域;复频域连续LTI系统的特征函数与特征值（1）6下面研究连续复指数信号est是否是特征函数？LTI系统，h(t)x(t)y(t)eststetx)(卷积定理)()()()(*)()(sHedehedehthetystssttsst特征函数特征值（系统函数，传递函数）)(sHeestLTIstdehsHs)()(－－est是特征函数定义：特征函数——指系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以该信号。特征值——系统对特征函数（输入信号）的输出响应中的常数（幅度因子）称为系统的特征值（系统函数）h(t)的拉氏变换连续LTI系统的特征函数与特征值（2）7例3-1(P55)令某LTI系统h(t)的输入信号，求输出y(t).tststseaeaeatx321321)(解：根据LTI系统特征函数的性质stLTIstesHe)(tsLTItsesHe11)(1tsLTItsesHe22)(2tsLTItsesHe33)(3齐次性和叠加性tststsesHaesHaesHaty321)()()()(332211一般形式与结论stLTIstesHe)(ktskkLTIktskkkesHatyeatx)()()(输入表示为复指数信号est的线性组合，权重为{ak}输出亦表示为复指数信号est的线性组合，权重为{akH(sk)}dehsHs)()(stLTIstesHe)(8虽然s可以是任意复数，但是在频域分析中，仅限于这些变量的特殊形式。即在连续系统中仅考虑纯虚部s=jω(傅里叶分析），这样的话tjjsstee特征函数特征值dehsHjHsHjjsjs)()()()(例3-2考虑输入x(t)和输出y(t)是个延时为3的LTI系统，即y(t)=x(t-3)1）若输入为x(t)=ej2t，求输出及其特征值H(s)。解：1)tjjtjeeetxty26)3(2)3()()3()(tth623222)3()()(jjssjssjssjseededehsH)3(*)()3()(ttxtxty从卷积的角度求输出：3()()()szsYsHseXs方法二：方法二：（第六章）（第六章）连续LTI系统的特征函数与特征值（3）9)3(7cos)3(4cos)3()(tttxtytjtjtjtjeeeetx774421212121)(利用特征函数的性质sesH3)()3(7cos)3(4cos21212121)7(2121)7()4(21)4(21)()3(7)3(7)3(4)3(47744tteeeeejHejHejHejHtytjtjtjtjtjtjtjtjLTI系统的卷积积分作用S域的代数运算（相乘）例3-2考虑输入x(t)和输出y(t)是个延时为3的LTI系统，即y(t)=x(t-3)2)x(t)=cos(4t)+cos(7t)，求输出。解：2)stLTIstesHe)(利用欧拉公式：)(21cos000tjtjeet连续LTI系统的特征函数与特征值（4）控制科学与工程学系2011/3/23第三章10单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式10本章主要内容(1)连续时间LTI系统的特征函数(2)连续时间周期信号的傅里叶级数表示(3)非周期信号的表示：连续时间信号的傅里叶变换(4)周期信号的傅里叶变换(5)傅里叶变换的性质(6)连续时间LTI系统的频域分析连续时间周期信号的傅里叶级数表示11连续时间傅里叶（Fourier）级数典型周期信号的Fourier级数展开连续时间Fourier级数收敛与周期信号Fourier级数的近似表示连续时间Fourier级数（1）12（1）傅里叶级数的两种形式：指数形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数*1复习周期信号周期信号是指定义在(-∞,+∞)之间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号，即:存在t∈R，使x(t+T)=x(t)，满足上述T的昀小值T0称为该信号的基波周期（FundamentalPeriod);001Tf——基波频率（FundamentalFrequency)002T——基波角频率（FundamentalAngularFrequency)注：教材上对这2种频率无明显的区别连续时间Fourier级数（2）13*2复指数信号tje0——周期信号基波周期：002T基波频率：200f尺度变换,2,1,00ketjk——周期信号基波周期：kTk002基波频率：002kfk写成集合形式,2,1,0)(0kettjkk——成谐波关系的复指数信号集ω0——该信号集的基波频率T0——该信号集的基波周期特点基波频率都是f0的整数倍每个信号分量都是以T0为周期的T0是基波周期的整数倍tjke01k例：－－基波分量2k－－二次谐波tjjsstee连续时间Fourier级数（3）14tjkket0)(是周期为T0的周期信号ktTjkkktjkkeaeatx002)(x(t)由成谐波关系的复指数信号线性组合构成的信号，也是以T0为周期的周期信号Fourier级数的指数形式Fourier级数系数K=0：x(t)的直流分量/平均分量；K=±1:x(t)的基波分量/一次谐波分量K=±k——x(t)的k次谐波分量FS––FourierSeries对于x(t)为实信号,即x(t)=x(t)ktjkkktjkkeaeatx00)(-k代替kktjkkea0kkaakkaa若ak为实数kkaaak:FS系数/谱系数---复数k次谐波分量在x(t)中的分率连续时间Fourier级数（4）15指数形式的Fourier级数三角形式的Fourier级数10001000100010000sincossincossincossincossincos)(0kkkkkkkkkkkkkkktjkktkCtkBBtkaajtkaaatkjtkaatkjtkatkjtkaeatx0)(000kaajCkaaBaBkkkkkk或者00112112kkkkkkaBaBjCkaBjCkx(t)的直流分量x(t)的k次谐波分量；K=1又称为基波分量欧拉公式)sin(cos000tjtetj连续时间Fourier级数（5）1000sincos)(0kkkktjkktkCtkBBeatx16例3-3有一周期信号x(t)的基波频率为2π，写成指数形式的Fourier级数，，其中a0=1,a1=a-1=1/4,a2=a-2=1/2,a3=a-3=1/3，将其写成三角形式的Fourier级数。332)(ktjkkeatx解：按照具有同一基波频率的谐波分量合在一起tjtjtjtjtjtjeeeeeetx6644223121411)(欧拉公式)6cos(32)4cos()2cos(211)(ttttx实周期信号三角形式Fourier级数的系数Ck=0指数形式Fourier级数的系数ak=a-k？*kkaa实、偶周期信号)(21sin000tjtjeejt)(21cos000tjtjeet1000sincos)(0kkkktjkktkCtkBBeatx0)(000kaajCkaaBaBkkkkkk连续时间Fourier级数（6）17332)(ktjkkeatx例3-3-1已知ttttx6cos324cos2cos211)(,求其FS的指数形式。-2-1.5-1-0.500.511.52-101234解：利用欧拉公式)(2132)(21)(21211)(664422tjtjtjtjtjtjeeeeeetx31,21,41,13322110aaaaaaa其中：kkaa本例中因为x(t)为实偶周期信号,且ak为实、偶函数。332)(ktjkkeatxtx(t)连续时间Fourier级数（7）18(2)傅里叶级数系数ak的确定ktjkkeatx0)(两边同乘tjne0ktjntjkktjneeaetx000)(两边从0→T0对t积分kTtnkjkTktjntjkkTtjndteadteeadtetx00000000)(00)(