2016年高考数学真题含解析理科全国卷2卷

2016年高考数学真题含解析（理科全国卷2卷）说明：非官方版正式答案，答案和解析为解析团队教师2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（A）（B）（C）（D）【解析】A∴，，∴，故选A．（2）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）【解析】C，∴，∴，故选C．（3）已知向量，且，则m=（A）（B）（C）6（D）8【解析】D，∵，∴解得，故选D．（4）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（A）（B）（C）（D）2【解析】A圆化为标准方程为：，故圆心为，，解得，故选A．（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24（B）18（C）12（D）9【解析】B有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法故选B．（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．由图得，，由勾股定理得：，，故选C．（7）若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A）（B）（C）（D）【解析】B平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选B．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的（A）7（B）12（C）17（D）34【解析】C第一次运算：，第二次运算：，第三次运算：，故选C．（9）若，则=（A）（B）（C）（D）【解析】D∵，，故选D．（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A）（B）（C）（D）【解析】C由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．（11）已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，sin,则E的离心率为（A）（B）（C）（D）2【解析】A离心率，由正弦定理得．故选A．（12）已知函数满足，若函数与图像的交点为，，，，则（）（A）0（B）m（C）2m（D）4m【解析】B由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，∴，故选B．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．（13）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则．【解析】∵，，，，，由正弦定理得：解得．（14），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：①如果，，，那么．②如果，，那么．③如果，，那么．④如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．【解析】②③④（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是【解析】由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3），（16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，．【解析】的切线为：（设切点横坐标为）的切线为：∴解得∴．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）求数列的前项和．【解析】⑴设的公差为，，∴，∴，∴．∴，，．⑵记的前项和为，则．当时，；当时，；当时，；当时，．∴．（18）（本小题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，．⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，．⑶解：设本年度所交保费为随机变量．平均保费，∴平均保费与基本保费比值为．（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置.（I）证明：平面ABCD；（II）求二面角的正弦值.【解析】⑴证明：∵，∴，∴．∵四边形为菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，，∴，∴，∴，∴，∴．又∵，∴面．⑵建立如图坐标系．，，，，，，，设面法向量，由得，取，∴．同理可得面的法向量，∴，∴．（20）（本小题满分12分）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（I）当，时，求△AMN的面积；（II）当时，求k的取值范围.【解析】⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，则直线AM的方程为．联立并整理得，解得或，则因为，所以因为，，所以，整理得，无实根，所以．所以的面积为．⑵直线AM的方程为，联立并整理得，解得或，所以所以因为所以，整理得，．因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得解得．（21）（本小题满分12分）(I)讨论函数的单调性，并证明当时，(II)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.【解析】⑴证明：∵当时，∴在上单调递增∴时，∴⑵由(1)知，当时，的值域为，只有一解．使得，当时，单调减；当时，单调增记，在时，，∴单调递增∴．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.(I)证明：B，C，G，F四点共圆；(II)若，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.【解析】（Ⅰ）证明：∵∴∴∵，∴∴∴∴∴．∴B，C，G，F四点共圆．（Ⅱ）∵E为AD中点，，∴，∴在中，，连接，，∴．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy中，圆C的方程为．（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．【解析】解：⑴整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为．⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知：，即，整理得，则．（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数，M为不等式的解集.（I）求M；（II）证明：当a，时，．【解析】解：⑴当时，，若；当时，恒成立；当时，，若，．综上可得，．⑵当时，有，即，则，则，即，证毕．