MANOVA

MANOVA多响应变量方差分析MultivariateAnalysisofVarianceDesignandAnalysisofEcologicalExperiments第一部分：MANOVA相关基本知识——高晓霞第二部分：MANOVA原理——柯锦秀第三部分：MANOVA实际操作(SPSS)——李帅多元方差分析MANOVA相关统计方法的回顾MANOVA基本介绍线性代数基础知识回顾MANOVA基本统计量——高晓霞第一部分：MANOVA相关基本知识1.相关统计方法回顾1.1t-检验一个自变量、一个响应变量，检验两个样本(k=2)的平均值差异程度，适用于较小样本(样本量:30)。Eg:两组光照条件不同的样地中野生高山乌头（AconitummonanthumNakai）的生长速率有无差异？1.相关统计方法回顾1.2方差分析(ANOVA)通过分解样本平方和，比较若干个(k2)样本均值，检验一个或多个自变量对一个响应变量所产生的效应是否有显著差异。方差分析在功能上是t-检验的推广。1.相关统计方法回顾1.2.1单因素方差分析(One-wayANOVA)主要用于检验一个自变量、多个水平或多个处理对所研究的一个响应变量的影响。Eg：四组光照条件不同的样地中野生高山乌头的生长速率有无差异？1.相关统计方法回顾1.2.2多因素方差分析(Multi-factorANOVA)检验两个及以上自变量、多个水平或多个处理对所研究的一个响应变量的影响。Eg：四组光照与水分均不相同的样地中野生高山乌头的生长速率有无差异？1.相关统计方法回顾1.3协方差分析(ANCOVA)先用回归方法消除协变量对单一响应变量的影响(协变量与响应变量之间存在线性关系)，再用方差分析方法对自变量的影响作出统计推断。Eg：考虑野生高山乌头的初始重量对其生长速度存在影响，分析不同光照条件的样地中不同初始重量的野生高山乌头生长速率有无差异？新问题四组光照条件不同的样地中野生高山乌头的分株数(克隆大小)、重量以及株高有无差异？多元方差分析MultivariateAnalysisofVariance2.MANOVA基本介绍针对一个或多个自变量、多个水平或多个处理、存在两个或两个以上响应变量的数据的方差分析。在考虑多个响应变量时，MANOVA把多个响应变量看成一个整体，分析自变量对多个响应变量整体的影响，检验不同因素水平下响应变量整体的组间差异是否显著。2.MANOVA基本介绍2.1多元方差分析的基本思想与单因素ANOVA的平方和分解一样(将总体方差分解为组间方差和和组内方差)MANOVA将响应变量的整体差异分解为两部分：组间差异(处理效应)组内差异(误差效应)对这两部分差异进行分析比较。2.MANOVA基本介绍是否可用多次ANOVA检验代替MANOVA检验？理论上可以对各个因变量单独进行方差分析，但这种处理存在弊端：犯第一类错误的概率增大，检验效率低；一元分析结果不一致时，难以下结论；忽略了响应变量间相关关系；有时多个观察指标的联合分布存在差异，但单独对每个指标进行统计学检验时却没有统计学意义；反之亦然。类似ANOVA和多个单独t-检验间的关系2.MANOVA基本介绍2.2适用情况比较T-testANOVAMAVOVA目的检验两组均值是否差异检验k组(k2)以上均值是否有差异检验k组间在两个以上响应变量间是否有差异样本个数k=2k2k2自变量一个一个或多个一个或多个响应变量一个一个多个2.MANOVA基本介绍2.3MANOVA数据要求若响应变量间相关，相关关系应为线性；若响应变量间不是线性相关，则应把非线性关系线性化。样本规模：要求总样本量和各分组样本量都足够大不能出现较多缺失量测值(若数据缺失较多，不宜取得准确结果)各组样本数最好不要差别太大。3.线性代数基本知识回顾3.1行列式是一个数值。根据由n2个数aij（i，j=1,2,…,n）排成的n行n列的数表而确定的n阶行列式记作D，简记作det(aij)。3.线性代数基本知识回顾3.1行列式n阶行列式的定义：由n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。D=3.线性代数基本知识回顾3.1行列式二阶行列式的定义：三阶行列式的定义：3.线性代数基本知识回顾3.2向量向量：由n个实数ai（i=1,2,…,n）组成的有序数组（a1,a2,...,an），称为n维向量，其中ai称为第i个分量。行向量，列向量。向量相加：同维、同向的向量才能相加；对应分量各自相加。3.线性代数基本知识回顾3.3矩阵矩阵：由m×n个数aij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形数表，称为一个m×n矩阵。行与列相等的矩阵称为方阵。对角矩阵：主对角线以外的所有元素全为零的方阵（nxn阵）n000000213.线性代数基本知识回顾3.3矩阵单位阵：主对角线上的所有元素全为1的对角阵，记做1阵数量矩阵：主对角线上的所有元素全为的对角阵，记做阵1000100010000003.线性代数基本知识回顾3.3矩阵转置矩阵：把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A’。即A中的aij变为AT中的aji。对称矩阵：其转置等于自身的方阵叫做对称矩阵，就是称A是对称矩阵，则有A=AT。对称矩阵aij=aji02112231131011013.线性代数基本知识回顾3.4矩阵加法3.线性代数基本知识回顾3.4矩阵加法3.线性代数基本知识回顾3.5矩阵减法3.线性代数基本知识回顾3.5矩阵减法3.线性代数基本知识回顾3.6矩阵相乘,)(,)(nlkjlmikbBaA设定义A,B之积nmijnllmnmcBAC)(m行l列矩阵与l行n列矩阵的积为m行n列矩阵lkkjikljiljijiijbabababac12211称C为A左乘B，或B右乘A3.线性代数基本知识回顾3.6矩阵相乘nlljlnjnjlmmlmmiliilbbbbbbbbbaaaaaaaaaln122211111212111211nmlkknmklkkjmklkkmklkkniklkkjiklkkiklkknklkkjklkkkbababababababababa1111111111111113.线性代数基本知识回顾3.6矩阵相乘505040500107020502030A2018302230164030B18202250162030302020305030204030C2680370033251041405700AB=3.线性代数基本知识回顾3.6矩阵相乘123321589168601相乘的条件：左矩阵的列数与右矩阵的行数相等不可乘！3.线性代数基本知识回顾3.7矩阵相除现设矩阵A、B，现在求A/B，但矩阵的除法不是直接放在分数线上计算，而是引入一个新概念：逆矩阵。例如矩阵A的逆矩阵为A-1，则有AA-1=1一个矩阵的逆矩阵的求解方法是：先把一个单位矩阵放在目的矩阵的右边，然后把左边的矩阵通过初等行变换转换为单位矩阵，此时右边的矩阵就是我们要求的逆矩阵。3.线性代数基本知识回顾3.7矩阵相除一个矩阵的逆矩阵的求解方法是：先把一个单位矩阵放在目的矩阵的右边，然后把左边的矩阵通过初等行变换转换为单位矩阵，此时右边的矩阵就是我们要求的逆矩阵。3.线性代数基本知识回顾3.7矩阵相除3.线性代数基本知识回顾3.7矩阵相除3.线性代数基本知识回顾3.8特征根与特征向量设A为n阶方阵，X是n维列向量，如果存在数,使方程AX=X有非零解，则称为矩阵A的特征值，相应的非零解称为A的属于的特征向量方程AX=XAX-X=O(A-E)X=O即不论取何值，方程AX=X一定有解2019/10/14例如：对，取=4，代入方程AX=X得AX=4X(A-4E)X=O5511400415134EA00551121xx00552121xxxx05502121xxxx(A-4E)X=O021xx有非零解1513A2019/10/14所以，=4是矩阵A的一个特征值对，取，得一个基础解系021xx12x11V则方程(A-4E)X=O的全部解为：cccVc为任意常数A的属于l=4的特征向量：cccVc≠03.线性代数基本知识回顾2019/10/14求n阶方阵A的特征值：数l0是A的特征值l0使方程AX=lX有非零解0EA因此：l0是A的特征值l0使成立0EA的根是特征方程00EA求A的特征值步骤：(1)计算n阶行列式EA解得方程的根l1，l2，…，ln，(2)0AE令则l1，l2，…，ln即是A的特征值有非零解使方程OXEA0有非零解元齐次方程组OXEAn2019/10/14设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaa1212121112111121212222122212121211221()()()nnnnnnnnnnnnnnnjjjjjnjjjjnnaaaAAAaaaAAAAEaaaAAAAAAaaa(1)nnnf2019/10/14则方程即是的n次方程0EA0nf在复数域上，方程一定有n个根。0EAEAnf方程0EA3.线性代数基本知识回顾A的特征多项式A的特征方程2019/10/14解：令，得l1=-1，l2=7则A的特征值为l1=-1，l2=70AE2354AE22415674532A【例】求的特征值3.线性代数基本知识回顾4.MANOVA基本统计量4.1均向量4.2离均差平方和与离均差积和矩阵4.3方差-协方差矩阵4.4协方差阵与离差阵4.MANOVA基本统计量12名中学生的身高、体重、胸围测量资料编号身高(cm)y1体重(kg)y2胸围(cm)y31171.058.581.02175.065.087.03159.038.071.04155.345.074.05152.035.063.06158.344.575.07154.844.574.08164.051.072.09165.255.079.010164.546.071.011159.148.072.512164.246.573.04.MANOVA基本统计量4.1均向量3750.740833.488667.161Y均向量(VectorofMeans)均向量的转置74.37500833.488667.161Y3750.743750.740833.483750.748667.1613750.743750.740833.480833.480833.488667.1610833.483750.748667.1610833.488667.1618667