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2.1投影法的基本知识2.1.1投影法的概念在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。我们把光线称为投射线(或叫投影线)，地面或墙壁称为投影面，影子称为物体在投影面上的投影S投影面aA投影线投影中心2.1.2投影法的种类及应用2.1.2.1中心投影法投影中心距离投影面在有限远的地方，投影时投影线汇交于投影中心的投影法aBcbACS2.1.2.2平行投影法投影中心距离投影面在无限远的地方，投影时投影线相互平行的投影法1、斜投影法——投影线与投影面相倾斜的平行投影法2、正投影法——投影线与投影面相垂直的平行投影法BcbaA射射向方acb向方B投CA投C2.２三视图的形成与投影规律在机械制图中，通常假设人的视线为一组平行的，且垂至于投影面的投影线，这样在投影面上所得到的正投影称为视图，一个视图不能确定物体的形状。投面影２.2.1三投影面体系与三视图的形成2.2.1.1三投影面体系的建立三投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成正立投影面：简称为正面，用V表示；水平投影面：简称为水平面，用H表示；侧立投影面：简称为侧面，用W表示。三个投影面的相互交线，称为投影轴。它们分别是：OX轴：是V面和H面的交线，它代表长度方向；OY轴：是H面和W面的交线，它代表宽度方向；OZ轴：是V面和W面的交线，它代表高度方向；三个投影轴垂直相交的交点O，称为原点。YZ正立投影面影面投侧立水平投影面OVX2.2.1.２三视图的形成与展开：将物体放在三投影面体系中，物体的位置处在人与投影面之间，然后将物体对各个投影面进行投影，得到三个视图主视图俯视图左视图XYWYHZO用正投影法绘制的物体的投影图称为视图。VＷＨ长高宽宽上上下下左左右右前前后后主、俯视图长对正主、左视图高平齐俯、左视图宽相等2.2.2三视图的投影规律与位置关系2.3点的投影2.3.1点的投影及其标记当投影面和投影方向确定时，空间一点只有唯一的一个投影。假设空间有一点A，过点A分别向H面、V面和W面作垂线，得到三个垂足a、a′、a″，便是点A在三个投影面上的投影a′a(x,y)aXAXaXaYHOYXZVZaZXZWVaYHYHOYWaYWZa″aZWXYaa″a′(x,z)(y,z)2.3.2点的三面投影规律2.3.2.1点的投影与点的空间位置的关系Aa=a′ax=a″ay(即a″aYW)，反映空间点A到H面的距离；Aa′=aax=a″az，反映空间点A到V面的距离；Aa″=a′az=aay(即aYH)，反映空间点A到W面的距离；AHYXaXaYOWZVZaZXWYaa″a′aXYH45°OYWZa′a″aXaYWYHaaZ2.3.2.2点的三面投影规律点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即a′a⊥OX；点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a′a″⊥OZ；点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″到OZ轴的距离，即aax=a″az。AHYXaXaYOWZVZaZXWYaa″a′aXYH45°OYWZa′a″aXaYWYHaaZ例题2-1：已知点A的正面投影a′和侧面投影a″求作其水平投影aaXOXZOZYHYWYHYWa′YWaaXaYHa′a″a″aZaZ2.3.3点的三面投影与直角坐标点A到W面的距离=Oax=a′az=aaYH=x坐标，a″(0，y，z)点A到V面的距离=OaYH=aax=a″az=y坐标，a′(x，0，z)点A到H面的距离=Oaz=a′ax=a″aYW=z坐标，a(x，y，0)yxHyXaHYOzAxXyWzVZVyOaYazOxzAxXxzYHyyYWZxZWYWaaYH45°aZaZaXaXaYa′a′a′a″a″a″例题2-2：已知点A的坐标（20，10，18），作出点的三面投影，并画出其立体图YHXOYHYWXOZZYHaXYWOYWZaYHaYWaZaXaXaXa′a′aa″X=20Y=10Z=18Y=10XHVZXXHYOYaOVWYaHOAWVZZaZaXaYaZaYaXaXaYaZY=10Z=18X=20a′a″a″W画出立体图2.3.4特殊位置点的投影2.3.4.1在投影面上的点（有一个坐标为0）有两个投影在投影轴上，另一个投影和其空间点本身重合。例如:在V面上的点AaOHWXZVAa′a″2.3.4.2在投影轴上的点（有两个坐标为0）有一个投影在原点上，另两个投影和其空间点本身重合。例如在OZ轴上的点AHXAWOaZVa′a″2.3.4.2在原点上的空间点（有三个坐标都为0），因此，它的三个投影必定都在原点上HYAaXWOVZa′a″2.3.5两点的相对位置2.3.5.1两点的相对位置：空间两点的相对位置，在投影图中是由它们同面投影的坐标差来判别。其中左、右由x坐标判别，前、后由y坐标判别，上、下由z坐标判别（1）距W面远者在左（x坐标大）；近者在左（x坐标小）；（2）距V面远者在前（y坐标大）；近者在后（y坐标小）；（3）距H面远者在左（z坐标大）；近者在左（z坐标小）。abXOZHaAbYXBVWOZYHYWXA-XBZB-ZAYA-YBa″b″a′a″b′b″b′a′已知空间两点的投影，即点A的三个投影a、a′、a″和点B的三个投影b、b′、b″，用A、B两点同面投影坐标差就可判别A、B两点的相对位置。由于xAxB，表示B点在A点的右方；zBzA，表示B点在A点的上方；yAyB，表示B点在点的A后方。总起来说，就是B点在A点的右、后、上方。2.3.5.1重影点若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点是该投影面的重影点。这时，空间两点的某两坐标相同，并在同一投射线上。当两点的投影重合时，就需要判别其可见性，应注意：对H面的重影点，从上向下观察，z坐标值大者可见；对W面的重影点，从左向右观察，x坐标值大者可见；对V面的重影点，从前向后观察，y坐标值大者可见。在投影图上不可见的投影加括号表示，如（a′）如：C、D位于垂直H面的投射线上，c、d重影为一点，则C、D为对H面的重影点，z坐标值大者为可见，图中zCzD，故c为可见，d为不可见，用c（d）表示。XVOOYc(d)HDd)c(WCXZZYHc′c′d′d′c″c″d″d″2.4直线的投影2.4.1直线的投影图空间一直线的投影可由直线上的两点（通常取线段两个端点）的同面投影来确定。如:直线AB的三面投影图，可分别作出A、B两端点的投影（a、a′、a″）、（b、b′、b″），然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图（ab、a′b′、a″b″）OXaaHbAYXVBWZOOabXbZZYHYHYWYWb″b″b″b′b′b′a′a′a′a″a″a″2.4.2直线对于一个投影面的投影特性空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。1、真实性:当直线与投影面平行时,则直线的投影为实长。2、积聚性:当直线与投影面垂直时,则直线的投影积聚为一点。3、收缩性:当直线与投影面倾斜时,则直线的投影小于直线的实长。aAa(b)baBBAAbB2.4.3各种位置直线的投影特性直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类2.4.3.1投影面平行线平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。斜线反映实长；直线的倾角α、γ。BWOXbHaαγYZVγαAa′b′a″b″例题2－3如图，已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角α＝30°OOaXaXb15.00ZZ30°YWYWYHYHa′a′a″a″b′b″2.4.3.2投影面垂直线垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线。垂直于V面的称为正垂线；垂直于H面的称为铅垂线；垂直于W面的称为侧垂线。侧垂线的投影特性：（1）两个投影反映实长；（2）一个投影积聚为一点。OeXkZYWYHe′k′e″（k″）例题2－4如图，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10毫米，试作直线AB的三面投影OOaXXaZZb（YWYWYHYHa′a′a″a″b′b″）2.4.3.2一般位置直线与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线,投影特征:（1）直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角；（2）任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。γOaHαXAβbaYXbOWZVBZb′b′b″b″a″a″YWYHa′a′2.4.4一般位置直线的实长和对投影面的倾角2.4.4.1直角三角形法的作图原理AB为一般位置直线，过端点A作直线平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中，斜边AB就是线段本身，底边AC等于线段AB的水平投影ab，对边BC等于线段AB的两端点到H面的距离差（Z坐标差），也即等于a′b′两端点到投影轴OX的距离差，而AB与底边AC的夹角即为线段AB对H面的倾角α。△ZHαaZAbOZBb′a′αAVCB2.4.4.2直角三角形法的作图方法和步骤用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边，用直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边，作出一直角三角形。此直角三角形的斜边就是空间线段的真实长度，而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。WYOXHb实长Yzαaa″实长b′βa′实长Zyγxb″例题2－5如图，已知直线AB的实长L=15mm，及直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a′，试用直角三角形法求出直线AB的正面投影a′b′。作图方法与步骤:1、在H面中，自a点作直线垂直于ab，以b点为圆心，以直线AB的实长L为半径作弧与ab的垂线交于A0，连bA0得直角三角形△abA0，该直角三角形中的直角边aA0即为A、B两点距H面的距离差。ALabXa′aAOBbXOa′b2′ObO′b1′2、过b作垂直OX轴的投影连线；过a′作OX轴的平行线，两线相交于b0′。由b0可向上或向下量取b0′b1′或b0′b2′，使之都等于aA0，得到b1′、b2′两点。3、连a′b1/和a′b2′，则a′b1′和a′b2′均可为直线AB的正面投影，表明该题有两个解。ALabXa′aAOBbXOa′b2′ObO′b1′2.4.5直线上点的投影2.4.5.1直线上点的投影点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。bBCaHXcAa′b′Vc′a″Oa″Oa′aYXYHbWYb″Wc″b′b″Zc′cc″2.4.5.2直线投影的定比性点C在线段AB上，它把线段AB分成AC和CB两段。根据直线投影的定比性，AC：CB=ac：cb=a′c′：c′b′=a″c″：c″b″。例题2－6如图，已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，求K点的水平投影k。Xa′OXa′Oa′YOXbbba0KBk0kaaYHWk′b′b′b′k′k′b″k″a″Z（a）题目（b）解法1（c）解法22.4.6两直线的相对位置两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。2.4.6.1两直线平行1、特性:若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。如图由于AB∥CD，则必定ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。XOXHabdcAa′c′CDd′Bb′VOabcdd′a′c′b′2、判定两直线是否平行如果两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定。当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。WYXhgfeHYOh′g′e′f′g″e″h″f″Z2.4.6.2两直线相交1、特性：若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图两