第二章正投影基础(体投影).

基本形体的投影2.棱锥(1)棱锥的投影由一个底面和三个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点—锥顶。正三棱锥是锥体中底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形，正面投影和侧面投影积聚成水平直线段。ABCS以正三棱锥为例ABCSa′b′c′a〞(c〞)b〞s〞s′abcs棱面SAC为侧垂面，侧面投影积聚成直线段,正面投影和水平投影为类似形。另两个棱面（SAB,SBC)为一般位置平面，三投影均不反映实形。()k’kk’’b’snn’’n’ABCSs’s’’Nabc☆作图步骤：①画反映实形的底面的水平投影（等边三角形），再画ΔABC的正面投影和侧面投影，它们分别积聚成水平直线段；②根据锥高再画顶点S的三面投影；a’c’a’’(c’’)b’’③最后将锥顶S与点A、B、C的同面投影相连，即得到三棱锥的投影图。④最后检查清理底稿，按规定线型加深。（2）棱锥表面取点一般采用辅助线法。判别可见性K动画演示k’三棱锥表面上取点（一）abcc′b′a′s′sa〞(c〞)s〞SABCb〞kK‘’Ke’eEe‘’棱线上取点三棱锥表面上取点(二)abcc′b′a′s′sa〞(c〞)b〞s〞SABCFEe’f‘ef1〞Dd′d1’Ⅰ1平面立体可看作是由若干个平面图形所围成的，所以在平面立体表面上取点或取线时，应把属于平面立体的棱面作为单独的平面来考虑。△ABC为一般位置平面,它的每个投影都没有积聚。在该面上取点必须作辅助线。作辅助线常用的方法有两种﹕1)过已知点作该面底边的平行线；2)作已知点与顶点的连线;再于辅助线上定点。棱面上取点SABC棱面上取点(续)(4)abcc′b′a′s′sa〞(c〞)s〞b〞2´2″2Ⅱ()(3)3344练习已知正五棱柱底面半径为2cm，高为3cm，完成其三面投影，其侧面朝前。同时在五棱柱上，顶面及侧面上任意找一点，并完成点的三面投影。二、曲面立体及其表面取点表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。曲面可看作由一条运动的线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。1.圆柱圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线绕与它相平行的轴线旋转而成。（1）圆柱的投影a’aa’’A1A直线AA1称为母线,母线在廻转面的任一位置称为素线。圆柱面上的素线都是平行于轴线的直线。OO1利用投影的积聚性最左素线最右素线最后素线最前素线圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。轮廓素线的投影与曲面可见性的判断OO1A（2）圆柱面上取点圆柱表面取点()()A(D)CBc”2.圆锥圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相交的轴线旋转而成。S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。O1O（1）圆锥体的投影轮廓素线的投影与曲面可见性的判断（2）圆锥面上取点k★辅助素线法★辅助圆法(n)s●nk(n‘’)●k‘’●SA过锥顶S和点K作一辅助素线。圆的半径？最左素线最后素线最前素线最右素线s●s●(N)●K过N点作一平行于底面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过n’且平行底面的直线段。该圆锥俯视图为一圆。另两个视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。3.球球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。三个视图分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向转向轮廓线的投影。（1）球的投影轮廓线的投影与曲面可见性的判断（2）球表面取点k辅助圆法kk圆的半径？球面上平行于H面的最大圆球面上平行于W面的最大圆球面上平行于V面的最大圆上下分界圆前后分界圆左右分界圆K动画演示四、圆环圆绕与其共面但不通过圆心的轴线旋转，生成环面。外半圆周生成外环面，内半圆周生成内环面。图示环面的正面投影上，画出了轴线和外形线，包括母线上最高、最低点的轨迹及两个反映实形的母线圆的投影，其中内半圆的投影为不可见。水平投影上画出了母线圆的圆心轨迹及外形线，包括母线圆上最外、最内点轨迹圆的投影。四、圆环第二节截交体和相贯体的投影一、截切体二、相惯体截交线的概念平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。截平面截交线截交线的性质①截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面的共有点。②截交线一般是封闭的平面图形。③截交线形状取决于立体表面的形状和截平面与立体的相对位置。截切平面立体的三视图由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。例1三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。s’a’b’c’asbcsa’’(c’’)b’’BAⅠⅡⅢ1’2’3’1yy23123例2求带切口三棱锥的投影s'ssb'c'cbaa'bca1yyyy144'23（3’）2'1'32解题步骤1分析截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；2求出截交线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；整理轮廓线。例3求立体截切后的投影2351’’11’6’6’’5’’4’’3’’2’’6Ⅴ4’（5’）2’（3’）ⅣⅥⅢⅡⅠ例题﹕求作正垂面P截割六棱柱的截交线。PV6254316〞1〞5〞4〞3〞2〞(5′)3′4′(6′)2′1′ⅥⅤⅣⅢⅡⅠ1、棱柱上截交线的求法⑴分析⑵作图①作出截平面与棱柱的交点、交线②依次连接各点③判断可见性④整理轮廓线⑶检查加深图线⑴分析截平面P与六棱柱的六个棱面都相交,截交线为一个六边形;截平面P是正垂面,其正面投影PV有积聚性,截交线的正面投影积聚在PV上,又因为六棱柱的六个侧棱面都垂直于水平面,故截交线的水平投影积聚在六棱柱各棱面的水平投影上。所以只需求截交线的侧面投影。点在铅垂线上,利用点属于直线求影45例题求立体截切后的投影(6)(7)(9)(8)(10)4′1'2'（3'）(5′)110'13223yy54yy8'（9'）(7′)6'761089例题﹕求四棱锥的截交线。并求断面实形。•分析图形,补出完整图形•根据已知条件求出棱线上的点•依次连接•按线型补出图形y3y42′21′1y4y3432″1″4′(3′)4″3″作业评讲：作出带截面和缺口的四棱柱的水平投影。请一个同学上来画8′5′7′6′2′4′3′1′8〞7〞6〞5〞4〞3〞2〞1〞78341265V已知主、左视图，求画俯视图。答案：截切曲面立体的三视图曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。作图步骤：（1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。（2）求出截交线上的特殊点。（3）根据需要求出若干个一般点。（4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。（5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。极限位置点曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。转向轮廓点曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。特征点曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。结合点截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。1.截切圆柱圆垂直轴线矩形平行轴线椭圆倾斜轴线例求切口圆柱的水平投影和侧面投影。作图步骤1分析截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；2求出截交线上的点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；例求截切圆柱的水平投影和侧面投影。作图步骤1分析截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为矩形；2求出截交线上的点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；整理轮廓线。2.截切圆锥解释θ=90°θ＝ααθ＞＞90°0°≤θ＜α过锥顶两相交直线圆椭圆抛物线双曲线ααθαθαθ解题步骤例1已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。1分析截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2求出截交线上的特殊点；3求出一般点；光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。例2求正平面与圆锥的截交线。解题步骤1分析截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、ⅡⅢ；3求出一般点ⅣⅤ；光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。11’1”2”(3”)4”(5”)4’5’2’3’2453例3求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。11’1”2’(3’)2”3”235’(6’)5”6”65’”3.截切球平面与圆球相交,截交线为圆例1已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。相贯体利用积聚性法求相贯线利用辅助平面法求相贯线相贯线特殊情况相贯线的性质立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线,特殊情况下为平面曲线或直线。相贯线的性质3)形状—相贯线的形状决定于回转体的形状、大小以及两回转体之间的相对位置（一般情况下相贯线是空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线）。2)封闭性—由于立体的表面是封闭的，因此相贯线一般是封闭的线框。1)共有性—相贯线是两相交回转体表面的共有线和分界线，线上所有点都是两相交回转体表面的共有点。是求相贯线投影的作图依据。相贯线性质图例平面立体与平面立体相交平面立体与曲面立体相交曲面立体与曲面立体相交曲面立体与曲面立体相交内表面相贯线外表面相贯线1.两平面立体相贯线两平面立体相交，其相贯线在一般情况下是封闭的空间折线，但有时也会是平面多边形。求作两平面立体相贯线，实质上仍归结为求直线与平面的交点，以及求平面与平面交线的问题。例1:两个三棱柱相贯，补全其正面投影。V空间分析:两平面立体相交，交线为封闭的空间折线。题解：去掉投射线后2同坡屋面屋顶平面图的画法（1）檐线相交的两个屋平面的交线，必通过这两檐线的交点，其水平投影，则是这两檐线水平投影夹角的平分线。（2）檐线平行的两个屋平面的交线，必平行于这两条檐线，其水平投影，则是这两檐线水平投影的等距平行线。（3）通过两条屋面交线的已知交点，至少还有第三条屋面交线，其投影也是如此。该交点称为同坡屋面的顶点，也可简称顶点。30°30°30°从平面图开始作图解题，补出俯视图和主视图:补出同坡屋面的左视图：答案：3平面立体与曲面立体的相贯平面立体与曲面立体相交的表面交线，一般是由数段平面曲线组合而成的空间曲线，每一段平面曲线都是平面立体的棱面与曲面立体表面的交线，相邻两段平面曲线的连接点是平面立体的棱线与曲面立体表面的交点。双曲线（平面曲线）截平面都平行于圆锥的轴心线例1：求作四棱柱与圆锥的相贯线。题解：１.求特殊点：２.求一般点：３.联接相贯线４.连接可见轮廓线VW题解：１.求特殊点：２.求一般点：３.联接相贯线４.连接可见轮廓线两曲面立体相交，在一般情况下其相贯线是封闭的空间曲线，特殊情况下也可能是平面曲线或直线。在解决相贯线作图时，必须首先分清楚两相交曲面的几何形状、相对位置及其大小，并对相贯线形成的情况（一般情况、特殊情况）进行初步的判断。4两曲面立体相交空间曲线曲线两圆柱轴心线垂直相交利用积聚性法求相贯线当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投影可按着曲面立体表面取点的方法求出,这种求作