高数函数-极限和连续总结

第一章函数.极限和连续第一节函数1.决定函数的要素：对应法则和定义域2.基本初等函数：（六类）（1）常数函数（y=c）；（2）幂函数（y=xa）；（3）指数函数（y=ax，a0,a≠1）;（4）对数函数（y=logax，a0,a≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。注:分段函数不是初等函数。特例：y=√x2是初等函数3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。第二节极限1.分析定义∀&0(任意小)∃∂0当|x|𝜕（或0|x−x0|𝜕）时总有|f(x)−A|&称limx→∞f(x)=0(或limx→x0f(x)=A)2.极限存在的充要条件limx→x0f(x)=A↔limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=A3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理f1（x）≤f(x)≪f2(x),且limx→x0f1(x)=A=limx→x0f2(x)所以limx→x0f(x)=A（2）单调有界准则单调有界数列一定有极限。4.无穷小量与无穷大量，则称时，f（x）为无穷小量，则称时，f（x）为无穷大量注：零是唯一的可作为无穷小的常数。性质1有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。5.定义设是同一极限过程中的无穷小，则若则称是比高阶的无穷小,记作若则称是比低阶的无穷小若则称是的同阶无穷小;特别地，当c=1时，则称是的等价无穷小,记作)(lim0xfxx）（或xxx00)(lim0xfxx）（或xxx0)(,)(xx,0)(x且,0lim);(o,lim,0limC);(O;~若则称是关于的k阶无穷小。6.在求两个无穷小量之比的极限时，分子及分母都可以用各自的等价无穷小，当x→0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x,1−cosx~12x2,√1+xn−1~1nx,ln(1+x)~x7.两个重要极限第二节函数的连续性1.f(x)在𝐱𝟎处连续的充要条件：limx→x0+f(x)=f（x0）=limx→x0−f(x)2.函数的间断点3.初等函数的连续性性质1：连续函数的四则运算也连续。性质2：连续函数的复合运算也连续。对连续函数求极限时，极限符号和连续函数符号，可交换顺序。4.闭区间连续函数的性质（1）最值定理（2）介值定理（零点定理）,0limCk1sinlim0xxxexxx)1(lim1