应用数理统计课件

1第1章概率论复习与补充•§1.1基本概念•§1.2一维随机变量及相关内容•§1.3多维随机变量及相关内容•§1.4大数定律与中心极限定理21.1.1概率统计发展历史16世纪概率论起源于赌博问题Fermat;Pascal;Huggens等17~19世纪Bernoulli;Poisson;Buffon;Laplace;Gauss等20世纪30年代苏联数学家Kolmogrov建立了概率论的公理化结构19世纪末20世纪初Fisher;Pearson;Neyman等数理统计发展§1.1基本概念参考《数理统计学简史》陈希孺湖南教育出版社31.1.2随机现象及研究1、自然界中的两种现象：确定性现象；随机现象：在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。4随机现象的统计规律性在相同条件下多次重复某一试验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。概率论与数理统计的研究对象概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。5随机试验（E）—对随机现象进行的试验与观察.它具有三个特点：可重复性,明确性,随机性.样本点(ω)—随机试验的每一个可能结果.样本空间（Ω）—全体样本点构成的集合.基本事件—Ω的单元素子集，即每个样本点构成的集合.随机事件—Ω的子集，常用A、B、C…表示.必然事件—Ω不可能事件—Φ2、随机事件6注意：随机事件发生当且仅当该事件包含的某一个样本点出现。例如掷一颗质地均匀的骰子,观察其出现的点数.,),6,,2,1(为样本点则表示出现的点数为设iiii记A=“出现奇数点”B=“点数大于零”C=“点数大于6”},,,{621},,{531},,,{6217例1.1：写出下列试验的样本空间:1.某袋子中装有5个球,其中3个红球,编号A、B、C,有2个黄球，编号D、F，现从中任取一个球,观察颜色.若是观察编号呢？2.观察某路口在某时间段经过的人数；3.测量某个电子元器件的寿命。8事件的关系与运算记号概率论集合论Ω样本空间,必然事件空间,全集φ不可能事件空集ω样本点元素A事件集合A的对立事件(逆事件)A的余(补)集事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同。A9,)1(BAA是B的子集,表示若事件A发生,事件B一定发生.),()2(BABAA与B的并(和).表示事件A,B至少有一个发生.),()3(ABBAA与B的交(积).表示事件A和B同时发生.,)4(BA表示事件A和B不能同时发生,称A与B互斥（或互不相容）..,)5(BABA且表示事件A和B互为对立事件,记为.ABBA或10,)6(BA表示事件A发生,而事件B不发生.且.BABA,)7(BABA,)8(BABA注（7）（8）结果可推广为iniiniiniiniAAAA1111,11例1.2设A、B、C为任意三个事件,试用它们表示下列事件:(1)A、B发生，C不发生；(2)A、B、C中恰有一个发生；(3)A、B、C中至多有一个发生；(4)A、B、C中至少有一个发生.解.)1(CABCBACBACBA)2(CBACBACBACBA)3(CBACBA)4(12(1)古典概型设Ω为随机试验E的样本空间，若①（有限性）Ω只含有限个样本点，②（等概性）每个基本事件出现的可能性相等，则称E为古典概型。(2)古典概型中事件概率的定义nnA中样本点总数样本空间中包含的样本点数事件AP(A)设E为古典概型,Ω为E的样本空间,A为任意一个事件，定义事件A的概率为3、随机事件的概率13(1)古典概型的判断方法——定义(随机、均匀等)(2)古典概率的计算步骤：①弄清试验与样本点;②数清样本空间与随机事件中的样本点数;熟悉排列、组合的有关结论③根据定义列出比式进行计算。注意:14例1.4（投球问题）n个不同的球随机投到N个不同的格子中（格子容量无限），计算下列事件的概率。（1）某n个指定的格子各有一球；（2）每个格子中至多有一球；（3）某指定的一个格子中有k（k≤n）个球。特例：（生日问题）n个人365天n30405064100P0.7060.8910.9170.9970.999999715（3）古典概型概率的性质①P(A)≥0;②P(Ω)=1;③1212()()()()nnPPPPAAAAAA;)(1)(5APAP性质;0)(4P性质;)()()()(6ABPBPAPBAP性质组是两两互不相容的事件若),,2,1(niAi16设P(A)为随机事件的实值函数,若P(A)满足①非负性P(A)≥0;②规范性P(Ω)=1;③可列可加性11)()(),,(,),2,1(iiiijiiAPAPjiAAiA则即组是两两互不相容的事件若则称P(A)为概率的公理化定义.4、概率的公理化定义由于实际问题的不同和处理问题的角度不同,有很多计算随机事件概率的方法.但它们都要求具有下面三个基本性质.17概率的重要性质(1)P(φ)=0，P(Ω)=1，逆不一定成立.(2)若AB=φ,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广到有限个互斥事件的情形.即:若A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(Ω-A)=1-P(A).若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)≤P(B);(4)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),（加法公式）P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)可推广到有限个事件的情形.18注意(1)P(B|A)是在改变了的样本空间下考虑概率值.(2)条件概率P(B|A)满足概率的三条公理.(3)P(B|Ω)=P(B);P(B|B)=1;(4)若B1，B2互不相容,则有:P[(B1+B2)|A]=P(B1|A)+P(B2|A)(5)P(|A)=1-P(B|A)……B定义对于两个事件A、B,若P(A)＞0,则称P(B|A）=P（AB）/P（A）为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。在计算条件概率时,一般有两种方法:(1)由条件概率的公式;(2)由P(B|A)的实际意义计算.1.条件概率19对于两个事件A与B，有P(AB)=P(A)P(B|A),也有P(AB)=P(B)P(A|B),推广情形对于n个事件A1,A2,…,An,则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)乘法公式一般用于计算n个事件同时发生的概率2.乘法公式P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)20设Ω是随机试验E的样本空间,事件组A1,A2,…,An满足：),,2,1(0)(,)2();()1(1niAPAjiAAiiniji则对于任何一个事件B，有P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)3.全概率公式SA1A2An…...BA1BA2…...BAn=21nBABABAB21),...,2,1()|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj注：1.以上两个公式中的A1,A2,...,An可以看作是导致事件B出现的因素（原因）;2.P(Aj|B)一般称为“后验概率”;Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;P(Aj)对应可以称为“先验概率”.设Ω是随机试验E的样本空间,事件组A1,A2,…,An满足:),,2,1(0)(,)2();()1(1niAPAjiAAiiniji则对于任何一个正概率事件B，有4.贝叶斯(Bayes)公式225.独立性定义若事件A与B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，简称A与B独立。证明：A.B独立=P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)=P(B|A)=P(B)注意从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.推论1A.B为两个事件,若P(A)0,则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).若P(B)0,则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).23证明不妨设A，B独立,则)B(P)A(P))B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P其他类似可证.推论2在A与B,与B,A与，与这四对事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。AABB注意判断事件的独立性一般有两种方法:①由定义判断,是否满足公式;②由问题的性质从直观上去判断.24设有n个事件A1,A2,…,An,若对任何正整数m(2≤m≤n)以及性质若n个事件相互独立，则①它们积事件的概率等于每个事件概率的积.②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件后，所得的n个事件也是相互独立的。)()()),1212121mmiiiiiimAPAPAPAAAPniii（（都有则称这n个事件相互独立.若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立.注意两两独立与相互独立的区别与联系。定义(n个事件的相互独立性）251.2.1随机变量的概念及描述§1.2一维随机变量及相关内容1.为什么要引入随机变量?2.什么是随机变量?定义设E为随机试验,它的样本空间记为Ω={ω},如果对于每一个ω都有实数X(ω)与之对应,则称这个定义在Ω上的单值实函数X(ω)为随机变量.263.随机变量的类型离散型取值为有限个和至多可列个值的随机变量.非离散型可以取区间内一切值的随机变量.连续型271.2.2常见的随机变量及其描述（一）离散型随机变量1、离散型随机变量的描述——分布律定义设随机变量X的一切可能取值为x1,x2,...,xn,...,且pn=P(X=xn),n=1,2,...,称此公式为X的概率分布或分布律.或者Xx1x2...xn...Pp1p2...pn...性质(1)pn≥0,n=1,2,...；(2)p1+p2+...+pn+…=1；282、Bernoulli概型（1）两点分布（2）二项分布（3）泊松（Poisson）分布（4）几何分布可以证明当n很大,p很小,λ=np是一个不太大的常数时,可以用泊松分布作为二项分布的近似.即),...,2,1,0(!)1(nkekppCkknkkn293、分布函数1）定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数}{)(xXPxF称为X的分布函数．3）分布函数的基本性质：①F(x)是一个单调不减的函数；.1)(lim)(;0)(lim)(,1)(0xFFxFFxFxx且②.)(),()0(是右连续的即xFxFxF③2）离散型随机变量的分布函数及特点30（二）连续型随机变量1、连续型随机变量的描述——概率密度函数定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.xdttfxF,)()(形式很重要31由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：.0)(10xf.1)(20dxxff(x)0x1)()(}{312210xFxFxXxPf(x)x01x2x)(.)(2121xxdxxfxx这两个条件是概率密度的充分必要条件32处连续，则有在点若xxf)(40xxFxxFxfx)()(lim)(0即xxxXxPx){lim0若不计高阶无穷小，有.)(}{xxfxxXxPxdttfxF,)()().()(xfxF33注意连续