求曲线方程方法

高二数学选修系列第二章圆锥曲线与方程2.1.2曲线与方程求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(,)xy;2.写出适合条件P的几何点集:()PMPM;3.用坐标表示条件()PM,列出方程(,)0fxy;4.化简方程(,)0fxy为最简形式;5.证明(查漏除杂).√√√√√以上过程可以概括为一句话:建设现．．．(．限．)．代化．．.直接法在什么条件下，方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，同时曲线C是该方程的曲线？（1）曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.(纯粹性)(完备性)知识回顾f(x,y)=00xy在平面上建立直角坐标系:点一一对应坐标(x,y)曲线曲线的方程坐标化研究坐标法形成解析几何迪卡尔2、平面解析几何研究的主要问题是：1.求曲线的方程;2.通过方程研究曲线的性质.如图,已知点C的坐标是(2,2),过点C直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B,设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程.活用几何性质来找关系xy0CBAM思维漂亮!(,)xy练习例1长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程.AMBxyOx2＋y2＝1一、定义法定义法:在建系的基础上，寻求几何关系时候利用几何关系与基本曲线的定义做题：即：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，可用定义直接求解二、待定系数法及方程求）（和点，（的曲线经过、已知方程例baBAbyax,1,1)350222212592516225182532253225182112)35(022222222yxyxabbaba即解：由题意可知注：已知曲线的方程模式或类型，设出方程，代入所过的点，求出系数。求其圆的方程，），（过点（变：已知过原点的圆，),500,1例2.已知线段AB,B点的坐标（6,0），A点在曲线y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程.xyABMy=x2+3三、相关点法108642-2-4-6O11x+6x=2yy=211x=2x-6∴y=2y点A（X1，Y1）在曲线y=x2+3上，则y1=x12+3解；设AB的中点M的坐标为（x，y），又设A（X1，Y1），则代入，得2y=（2x-6）2+32整理,得AB的中点的轨迹方程为3y=2x-3+2设点找两动点关系反解代入化简简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之间的坐标。相关点法:相关点法（或中间变量法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，也称代入法。变式.△ABC的顶点B、C的坐标分别为(0,0)、(4,0),AB边上的中线的长为3,求顶点A的轨迹方程.xy0(,)xy解:设A的坐标分别为(,)xy,AB的中点D的坐标为11(,)xy由中点坐标公式可知1122xxyy∴2211(4)9xy化简整理得22(8)36xy∴点A的轨迹方程为22(8)36xy.0yCABD∵AB边上的中线CD=3M法二:添辅助线MA,巧用图形性质,妙极了!注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)变式若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC重心G的轨迹方程.变式练习xyABMy=x2+3108642-2-4-6Oxy0ABCMl解:设M(,)xy,A11(,)xy,B22(,)xy则121222xxxyyy设直线l的方程为ykx由方程组2264100ykxxyxy消去y得22(1)(64)90kxkx121222649,11kxxxxkk∴22321321kxkkykk消去参数k得22320xyxy四、、参数法参数法：求轨迹方程的基本步骤：建系—设求的点—引参数—用参数表示x,y——消参——检验例3.经过原点的直线l与圆226490xyxy相交于两个不同点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程.),(yx解：设抛物线的顶点为2112254mxxmym变式：求抛物线的顶点的轨迹方程。22(21)1()yxmxmmR34yx消去m4/3xy方程：所以抛物线顶点的轨迹xy0ABCMl解:设M(,)xy,A11(,)xy,B22(,)xy则121222xxxyyy且22111122222264906490xyxyxyxy①②由①─②得12121212()()()()xxxxyyyy12126()4()0xxyy∵OMABkk即1212yyyxxx(易知12xx)∴22640yyxyxx∴化简得22320xyxy∴所求轨迹方程为22320xyxy(在已知圆内部一段弧对应的方程)点差法例3.经过原点的直线l与圆226490xyxy相交于两个不同点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程.一题多解xy0ABCMlO解:设M(,)xy设226490xyxy的圆心为C,则C的坐标为(3,2).且13OC∵M为AB的中点,∴由圆的性质可知MC⊥OM∴MC=OC/2=∴OC的中点O的坐标为3(,1)2轨迹方程为22313()(1)24xy妙!例3.经过原点的直线l与圆226490xyxy相交于两个不同点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程.一题多解1321.求曲线方程的常用方法:(1)直接法(2)相关点法(3)定义法(4)参数法小结2.轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系.3.求已知类型的曲线方程，一般用待定系数法或直接法求解；求未知类型的曲线方程，有代入法、参数法、定义法等，其解法比较灵活，并且因题而异.平面基本轨迹（1）平面内到两定点的距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分线。（2）平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆。（3）平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。（4）平面内到一定直线的距离等于定长的点的轨迹是平行于这条直线的两条平行线。（5）平面内到两条平行的定直线的距离相等点的轨迹是平行于它们的一条直线。即两条平行线的公垂线段的中垂线。（6）平面内对定线段的视角为直角的点的轨迹是以这条线段为直径的圆。练习1、已知A(-a,0),B(a,0)若动点M与两定点A，B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。()aR2、在中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且的面积等于3，求顶点C的轨迹方程。ABCABC3、（江苏，06）已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点，满足。则动点P(x,y)的轨迹方程为。0MNMPMNNP4.动点在圆122yx上移动时，它与定点)0,3(B连线的中点的轨迹方程是()5.点M(,)xy与定点F(1,0)距离和它到直线8x的距离的比为12,则动点M的轨迹方程为()1.设圆(x-1)2+y2=1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程.思考题2.已知点A(-1,0),B(2,0),有一动点P使恒成立,求的点P轨迹方程.2PBAPABAPBxyOABC3、已知中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲线上移动，求的重心轨迹方程。ABC231yxABC4、已知G是的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上有一点M满足求点C的轨迹方程。,().MAMCGMABR6、已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？221.xy(0),0xyMNQ7、已知圆C：过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程。