四川大学线性代数教材第五章第二节

第二节矩阵的相似对角化使得若存在可逆矩阵阶方阵为两个设，，PnBA,BAPP1，记为与则称BABA～，定义1相似相似变换矩阵。的化为称为将可逆矩阵BAP例，则若0110,3001,1003PBA01101003011011APP,3001B相似，与这说明BA。即BA～一种等价关系，因此：矩阵之间的相似关系是；有反身性：对每个方阵AAA～，)1(性质1；有对称性：若ABBA～，～)2(。，有且传递性：若CACBBA～～～)3(。，～BABA则若矩阵两端取行列式，得BABA,则若由此性质可知，～，性质2证明：，，，～BAPPPBA1使得故存在可逆矩阵因APPB1PAP1.A同为可逆或不可逆。性质3。为正整数则若)(mBABAmm～，～，，，～BAPPPBA1使得故存在可逆矩阵因mmAPPB)(1。～mmBA因此证明：)())((111APPAPPAPPAPPPAPPAPPAP)()()(1111，PAPm1性质4特征值。多项式，从而有相同的相似矩阵有相同的特征APPEBE1，的特征多项式相同的特征多项式与即BA，，，～BAPPPBA1使得故存在可逆矩阵因证明：APPPEP11)(PAEP)(1PAEP1，AE当然特征值就相同。性质：似矩阵有关的其他一些同样地，可以证明与相性质5则若，～BA；为任意整数，且则可逆若)()3(11mBABAAmm～～，;)1(rankBrankA;)2(TTBA～);()4(为任意常数kkBkA～);)(()()()5(为任意多项式xgBgAg～。trBtrA)6(注意：以上性质的逆命题不一定成立！,1001,1001BA例如：不相似。与易知，BA,1BA并不相似；与但BA，22BA～并不相似；与但BA,2rankBrankA并不相似；与但BA,20022012BA,再例如：，阶可逆矩阵对任意P2只能与其自身相似，即是说，B，二重特征值相同)(2，PEPBPP)2(11，由于EB2E2,B不相似。与，因此而BABA相似。特征值相同可见，BABA,,练习。，则若____20002000533242111.1BA～。，则若______,0002000130070412.2babBaA～解：,trBtrABA有因，～,10541trA,422trB。故6解：trBtrABA有因，～),1(35ba，～BA再由),2(26ba.31)2)(1(ba，可得，于是由BA有或：的特征值完全相同，与有因BABA，～的特征值是A,,2,1bB的特征值是,3,,2a。，于是31ba可(相似)对角化。AA相似，则称与对角矩阵若方阵定理1的特征向量。个线性无关有可对角化的充要条件是阶矩阵nAAn使得即存在可逆矩阵可对角化必要性：，，PA)1(证明：nAPP211,线性无关，因此可逆由于nPPPP,,,21，,PAP则有，列分块，将)(21nPPPPP，nnPPP2121)(由分块矩阵的乘法可得)()(221121nnnPPPAPAPAP。个线性无关的特征向量的分别对应于nn,,,21PAP)(21nPPPA),,,1(niPAPiii于是有个特征值，的是因此，nAn,,,21的就是而APPPn,,,21，令)(21nPPPP线性无关，由于nPPP,,,21可逆，因此P，nnnPPPPPPA212121)()(有,PAP即有,1APP可对角化。故A线性无关的特征向量，个的的分别对应于是充分性：设nAPPPnn,,,,,,)2(2121则有，由)()(221121nnnPPPAPAPAP),,,1(niPAPiii性质6即存在相似与对角矩阵若方阵，nA21,,,21那么由此定理的证明可得出以下结论：，，使得可逆矩阵nAPPP211的特征值，必为An，那么列分块，将)(21nPPPPP个线性无关的的的分别对应于就是nAPPPnn,,,,,,2121特征向量。呢？个线性无关的特征向量什么情况下一定有阶矩阵那么nAn论：特征向量有关的重要结为此先介绍下面这个与定理2征向量一定线性无关。的属于不同特征值的特矩阵A推论可对角化。个不同的特征值，则有阶矩阵若AnAn为对角矩阵。使得出可逆矩阵能否对角化？若能，求问设APPPAA1211110101，，例解：211110101AE)3)(1(可对角化。故个不同的特征值有AA，3,1,03321，，0)0(01XAE解齐次线性方程组对于0001101010AE，得基础解系0112X，000100111AE，得基础解系1111X，，0)1(12XAE解方程组同样地，对于，得基础解系2113X，，0)3(33XAE解方程组最后，对于,0001201023AE321,,XXXP3211APPP且可逆则，),,,(213XXXP若令注意：APP1且线性无关，显然，特征向量321,,XXX，201111111令。310，可逆则P。103213定理3个不同的特征值，的阶矩阵是设)(,,,21nmmAnm，的线性无关的特征向量的属于是设1112111,,,APPPi，的线性无关的特征向量的属于是2222212,,,APPPi，的线性无关的特征向量的属于是mmimmAPPPm,,,21线性无关。也则向量组mmimmiiPPPPPPPPP,,,,,,,,,,,,21222211121121定理4个。多只有线性无关的特征向量最的的属于重特征值，则的阶矩阵为设kAkAn定理5。个线性无关的特征向量有重特征值的每个对于可对角化的充要条件是阶矩阵iiikAkAAn，：。的秩为，特征矩阵重特征值的每个：对于可对角化的充要条件是阶矩阵iiiiknAEkAAn推论.21nkkkm注意：为对角矩阵。使得矩阵出可逆能否对角化？若能，求问设APPPAA1142252001，，例解：。3,1321的特征值为A，)3()1(1422520012AEA的特征多项式为，000000121242242000AE，，0)1(121XAE解方程组对于，基础解系为101,01221XX，，0)3(33XAE解方程组对于，0002200024422220023AE。1103X基础解系为1)(AErank)(ikn2)3(AErank)(ikn,110101012),,(321XXXP令3211APPP可逆，且则。311不可对角化。证明设AA，2100200023)2(AEA的特征多项式为，三重特征值)(21为对角矩阵。使得因此不存在可逆矩阵APPP1，例证明：特征矩阵0100000002AE0000000101)2(AE秩)0(ikn。是正整数简便地计算可对角化，那么可以较若)(nAAn例解：。求设nAA，211110101的特征多项式前面的例题中已经求出AAE)3)(1(，3,1,03321个不同的特征值的并且对A个线性无关的特征向量求出了3211,011,111，201111111P令3101APPP且可逆则，,B,1PBPA于是)())((111PBPPBPPBPAn，1PPBn21103322261310201111111nnnnA故nnnnnnnnn34323232333332333361。，则都为可对角化，且其特征值阶矩阵设____23AA练习1解：法一：使得由已知，存在可逆矩阵，P2221APPE21)2(PEPA于是E2法二：，三重由已知，)(2可对角化，有由A)2(AE秩033ikn，因此，02AE。EA2练习2解：。对角化的可是小于的行列式是实二阶矩阵，则设)(0AAAA既不充分也不必要条件充要条件必要条件充分条件)()()()(DCBA21A021可对角化，A因此是充分条件；2001A反之，可对角化，,02A但因此不是必要条件，。选)(A练习3解：的分别阶矩阵为设A3121,101,111321。的特征向量，求属于特征值A3,1,0321，令111201111),,(321P，可逆，且则121303222611PP或：),,(321AAP由12130322261310600310，由3101APP1310PPA得110121011),,(321AAA),,(332211)3,1,0(321，3106003101)(PAPA有110121011