四川大学线性代数教材第六章第一节

第一节二次型及其矩阵表示的二次齐次多项式称系数属于数域P233233322322322221131132112211121222222),,,(nnnnnnnnnnxaxxaxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf元上的一个为数域nP二次型，即实二次型。本书只讨论实数域上的定义1二次型。。即，222221121),,,(nnnxdxdxdxxxf型为称只含有平方项的二次标准形，2332211332333233213312232232222122111311321122111nnnnnnnnnnnnnnnxaxxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxaxa，其中记)(2jiijijjijiijjiijaaxxaxxaxxa233233322322322221131132112211121222222),,,(nnnnnnnnnnxaxxaxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf则nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),,,(nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121),,,(。且，其中，TnnnnnnnAAaaaaaaaaaAxxxX,21222211121121,AXXT的，为二次型其中称fAAAXXxxxfTTn)(),,,(21的为二次型称实对称矩阵fA秩。矩阵，矩阵表示，的秩A的称为二次型f是和它的矩阵易知，二次型Af相互唯一确定的。是是标准形，则它的矩阵特别地，若二次型Af对角矩阵。写成矩阵形式。将2332222121321234),,(xxxxxxxxxxf.110132021),,(),,(321321321xxxxxxxxxf例解：。2332223121213213222),,(xxxxxxxxxxxxf为矩阵的二次型。，写出以设AA31211212111例解：。的矩阵写出二次型3213213112101132),,(xxxxxx，不是对称矩阵3112101132B，，iiijiijjibxjibbxx的系数为的系数为二次型中，2)(，的元素为故二次型的矩阵)3,2,1,(2jibbaAjiijij。36236012312222222)(21333223311332232221123113211211bbbbbbbbbbbbbbbBBAT例解：，不是此二次型的矩阵则B：，作如下的变量替换元二次型对一般的n写成矩阵形式为称变量之间的此种替换可逆线性替换线性替换，准形。将一般的二次型化为标量之间的替换，之一，就是如何通过变研究二次型的核心问题nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,nnnnnnyyccccxx111111,CYX或可逆时，当矩阵nijcC)(称为。化线性替换或满秩线性替换、非退)(。，，的矩阵为其中化为新的二次型则替换作可逆线性对二次型gACCBBYYyyygfCYXAAAXXxxxfTTnTTn),,,()(),,,(2121命题使得若存在可逆矩阵阶矩阵是与设，，CnBA。，，；，；CACBBAABBAAA~~~)3(~~)2(~)1(则传递性：若则对称性：若反身性：下列三条性质：容易验证合同关系具有合同定义2。，BABA~记为与则称ACCBT定理1，使得在正交矩阵是实对称矩阵，则必存若QA，nTAQQAQQ211由第五章可知，因此有如下结论：合同于一对角矩阵。任意一个实对称矩阵都推论形。可逆线性替换化为标准任一实二次型都可以经。：)2()1(232221213233222211zdzdzdydydyd替换化为可以经一个非退化线性二次型证明，133221zyzyzy令，0001100010由于例证明：，)3(001100010321321zzzyyy即。化为将是一个非退化线性替换故)2()1()3(，练习1填空题：。的矩阵为________732),()1(22212121xxxxxxf。的矩阵为________732),,()2(222121321xxxxxxxf解：00007230232)2(723232)1(。____100000221),,()3(321321的秩为二次型xxxxxx，不是对称矩阵100000221B应为此二次型的矩阵A)(21TBBA解：，不是此二次型的矩阵则B，101001111，的秩为易得，3A。因此，此二次型的秩为3练习2选择题：.053502320),,()(321321xxxxxxD。不是二次型下列多项式中，)()1(222121332)(xxxxA2)(yB21210021),()(xxxxC是二次型。，是一个零多项式，不选)(D。)()2(下列命题不正确的是合同矩阵的秩相等；)(A符号相同；与，则都是可逆实矩阵，且BABACCCBABT,,)(;1111)(CCCCT，使得存在可逆实矩阵).(C选.1132)(CCCDT，使得存在可逆实矩阵。)(,3,2,1,,)3(321321321是，则下列命题不正确的的一个排列，是设iiidddBdddAiii不合同；与矩阵BAA)().(A选合同；与矩阵BAB)(相似；与矩阵BAC)(等价。与矩阵BAD)(