半导体物理习题课

3.1在硅中，导带极小值附近的电子能量可以写成:)mkmkk(2EE(k)22z12y2x2C式中m2m1(1)分别画出能量E随着kx和kz变化的示意图;(2)画出k空间等能面的示意图(要求分别画出等能面与kx-ky平面以及kx-kz平面的交线).解：(1)分别令ky、kz和kx、ky为常数不变，则E~kx与E~kz的关系如下图抛物线所示：）（22122mmzyCkkE2）（22122mmzyCkkE2因为m2m1,所以E~kz的抛物线开口更大。(2)设E(k)为固定值E0，分别令kz=0,ky=0则得到以下①和②两个式子：1220122)(CyxEEmkk12220222012)()(zCCxEEmkEEmk②①由以上两个式子，可得等能面与kx-ky平面以及kx-kz平面的交线如下图所示：0kxky半径为的圆)(mCEE02kzkx)(m1CEE02)(m2CEE02长轴位于kz,短轴位于kx的椭圆，因为m2m13.2设晶格常数为a的一维晶体，导带极小值附近的能量EC(k)为：mkkmkEC21222)()k(3价带极大值附近的能量Ev(k)为：mkmkE2212236)k(v式中m为电子质量，，a=3.14Å。试求：(1)禁带宽度；(2)导带底电子的有效质量；(3)价带顶空穴的有效质量。a1k解：(1)禁带宽度Eg=导带极小值ECmin-价带极大值EVmax,因此要先求出ECmin、EVmax0)(22)(d122mkkmkdkkEC令：得到：143kk所以有：222212211221244)43(169m3minmamkkkmkEC令：06)(d2vmkdkkE得到：0k所以有：222212max66mamkEV于是：222222maxmin12m)6141(maaEEEVCg(2)按照电子有效质量的定义：)(m222*dkEdnmmmmkkmkdkddkkEC38232)(232)(d22212222又：所以，导带底电子的有效质量为：mmdkEdCn83)38()k(m22222*(3)按照空穴有效质量的定义：mmdkkEdVn61)6()(-mm22222**p3.3证明：能量为的电子，在磁场中的回旋频率为.*n222mkEB*enmB证明:电子的有效质量为：)(m222*dkEdn设电子垂直于磁场的速度为，回旋频率为，半径为r，则电子的线加速度为：Bc所以有：*ncmeB**2annccmeBmfrrr3.7在一维情况下,(1)利用周期性条件证明：表示独立状态的k值数目等于晶体的晶胞数；(2)设电子的能量为,并考虑到电子的自旋可以有两种不同的取向.试证明在单位长度的晶体中单位能量间隔的状态数为:*22m2nkE21*2)(EmENn解：(1)周期性边界条件：以晶体的边长为周期，设晶体边长为L，晶格周期为a，电子波函数为)(xk根据布洛赫定理：，且)(e)(xxkikxk)()na(xxkk根据边界条件：，即：)()(xLxkk)(e)(e)(xLxkikxkLxik设晶体的原胞数为N个：则L=Na)(ea)(ee)(e)(xNxLxkikxkikLikxkLxik所以有：1eikLnkNkL2a，，a2Nnk其中n为整数独立的k值可限制在一个布里渊区中，因此：aakaa2aNn即：，2n2-NN因此n的取值只能有N个，即独立的k值为N个.(2)我们知道一个倒原胞体积内有N个独立状态,考虑自旋,应为2N个独立状态，因此一维空间中单位长度上的状态数为：，aa22NN又知：*222nmkE因此在能量EE+dE范围，长度为dk内的状态数为：dkmkdEn*2所以有：21*212*2*2*2m2EdEmEdEmkdEmdknnnn）（dEEmLdEEmNEdEmNdkNnnn21*21*21*222a2aa因此单位长度晶体中，单位能量间隔的状态数为：21*2)(EmENn3.9设硅晶体中电子的纵向有效质量为ml，横向有效质量为mt,(1)如果外加电场沿[100]方向，试分别写出在[100]和[001]方向能谷中电子的加速度；(2)如果外加电场沿[110]方向，试求出[100]方向能谷中电子的加速度与电场之间的夹角。解：[100]y[010]z[001]ijk(1)在[100]能谷中,x)(321ekfjfiffiE,所以有：eEf1032ffllmeEmfa110t33t22mfamfaimeEiaal1即，加速度大小为，方向为方向；lmeE001同理在[001]能谷中，ttmeEmfa11032aa所以有：imeEiaat1即，加速度大小为，方向为方向.tmeE(2)当电场为[110]方向时，设：ji22即，221EE)(2)(jieef则[100]能谷中各电子：llmemfa211tmemfa2-t22001所以有：)(221tlmjmiejaiaacosaa)(22112)11(2cos2222222tllttltltllttltlmmmmmmmmmmmmmmemmeaa于是：又：)(2cosarc-22tlltmmmm因为硅中,ml=0.98m、mt=0.19m,所以经计算得θ=146°.4.2T=40K时该掺杂半导体处于杂质弱电离区，因此有：1)exp()exp(1)exp(kTEEkTEEgNkTEEgNnNndccfdddfdddd)exp(kTEENncfccdCdcdNkTEEngNNn)exp())(ln(2dCddcIgnNnNkTEEE已知：31510cmNd31410cmn319108.2)300(cmKNC181923104.1108.2)30040()40(KNCeVEI038.0电离能：4.3室温下硼杂质处于饱和电离区，而且,本征激发可以忽略。ianN空穴浓度：31610cmNPa341621021025.210)105.1(cmpnni电子浓度：（1）（2）)exp(kTEENpfvveVEEpNkTEEvvvvf18.0101004.1ln026.0ln16194.4室温下认为锗中施主已经饱和电离，但是313314103.210cmncmNid，所以，本征激发不可以忽略！pNnd2)(idnppNpn所以，求关于空穴浓度的一元二次方程，取有意义解即可。p31222105.524cmnNNpidd31410055.1cmpNnd空穴浓度：电子浓度：4.6工作温度的上限要确保，高温导致的本征激发载流子仍然占少数，这要求：diNn101(1)硅中掺入的砷原子，31510cm)2exp()()(21kTENNSingvci319231031.4)300()300400()400:(cmKNKSiNcc319231060.1)300()300400()400:(cmKNKSiNvvTTETEgg2)0()(eVKSiEg097.1)400:(314312101011052.3)400:(cmNcmKSindi符合条件，保证本征载流子占少数。(2)锗中掺入的锑原子，31510cm319231060.1)300()300400()400:(cmKNKGeNcc318231023.9)300()300400()400:(cmKNKGeNvvTTETEgg2)0()(eVKGeEg623.0)400:(314315101011052.1)400:(cmNcmKGendi不符合条件，本征载流子已经多于施主提供的载流子。4.7施、受主杂质均饱和电离，31531610410cmNcmNad施主首先补偿受主，补偿后提供的电子浓度为：315106cmNNad本征硅在室温下本征载流子浓度为：310105.1)300:(cmKSini)300:(KSinNNiad315106cmNNnad3421075.3cmnnpi空穴浓度：电子浓度：eVnnkTEEkTEEnniififi335.0ln)exp(eVnNkTEEkTEENncfccfc22.0ln)exp(4.9室温下费米能级和施主能级重合，我们可以判断其为N型半导体；室温下，一般认为本征激发产生的载流子不占主导，因此：电中性条件：ddanNNn1)exp(kTEEgNnNdfdddd已电离施主：dfEE316108.1)1()(cmgNnNdad因此：电离施主：315106cmnNNndda中性施主：316316102.110)6.08.1(cmcm电离受主：31510cm中性受主：30cm5.1电子的平均动能为3kT/2，若有效质量为0.2m，试求室温时电子热运动的方均根速度。设电子的迁移率为1000cm2/Vs，算出102V/cm电场下的漂移速度，并把它与上面的结果作比较。(2)电子的漂移速度：kTvmTn23212*cm/s106.2m/s106.2kg101.92.0J106.1026.033753119*nTmkTv解：(1)电子的平均动能的表达式：cm/s10V/cm10s/Vcm1000522dvTdvv可见，当电场为100V/cm时，5.2300K时，Ge的本征电阻率为47cm，如电子和空穴迁移率分别为3900cm2/Vs和1900cm2/Vs，试求本征Ge的载流子浓度。解：本征条件下inpn电阻率)(11pnien3-13219cm102.3s/Vcm)19003900(cm47106.11)(1Cenpni本征载流子浓度5.3设Si的电子和空穴迁移率分别为1350cm2/Vs和480cm2/Vs。试计算本征Si的室温电导率，当掺入亿分之一(10-8)的As以后，如果杂质全部电离，电导率应是多少？它比本Si的电导率增大了多少倍？解：(1)piniienen310cm105.1insVcm13502nsVcm4802pC106.119e本征Si的载流子浓度为：S/cm104.46i(2)Si的晶格常数a=5.43Å，晶胞的体积为a3。每个晶胞中的原子数为个84621881原子密度为：322383cm100.5cm1043.5881a硅中掺入As起施主作用，施主浓度为：3143228cm100.5cm100.510dN若杂质全部电离，则有：314cm100.5dNn电导率S/cm108.0s/Vcm1350C106.1cm100.5219314ndneNne4611045.2104.41008.1/i可见掺杂可以极大地改变半导体材料的导电性能。5.4在室温下为了把电阻率为0.02cm的N型锗片变成：(1)电阻率为0.01cm的N型锗片；