【2019年整理】年第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题a小学组答案及详细分析解答

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）一、填空题（每小题10分，共80分）1．在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要个乒乓球。2．有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒，共有种不同价格。3．汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。已知A、B、C的速度分别是每小时90km,80km,60km，那么甲乙两站的路程是km。4．将和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第位。5．将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为，这些“好数”的最大公约数是。6．右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为。7．数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有张是卡片“3”。8．若将算式的值化为小数，则小数点后第1个数字是。二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．右图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。10．长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？11．足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分。若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？12．华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112＝1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由。三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．右图中，六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米。已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米。求六边形A1B1C1D1E1F1的面积。14．已知两位自然数能被它的数字之积整除，求出代表的两位数。答案1．1732．193．4254．55．223；36．327．38．49．不能10．[8，12，18]=728+12+18-3-2-1+1=32除去重复的32-4=28段最长一段长为1，所以1/7211．7；512．有质数,1163；1163不能除以2,3,5……37内质数,1163＜37×4013．335×6=2010（2010-670）÷2=6702010-（670×2）=67014．11，12，15，24，36第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛（A卷）解答的详细解析与答案一、填空题（每小题10分，共80分）1、【解答】（枚举方法）至少需要11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173。2、【解答】（列表方法）共有25-6=19(种)包装盒价格礼品盒价格13579235791156810121489111315171112141618201415171921233、【解答】（相遇、追及综合问题）A与C20分钟相遇，共行（90+60）×(20÷60)=50(km),这50km即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于50÷（80-60）=2.5（小时）。所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）×2.5=425(km)4、【解答】平均数=【（12+13+16）+14+15+17】÷6≈0.265457，所以这个平均数从小到大排列在第5位。5、【解答】（余数问题或周期规律）题意中的好数实际是指小于或等于2012中除以9余6的数有多少个。即数列6、15、24、33、42、51…….1005、2004共（2004-6）÷9+1=223（个），最大公约数为36、【解答】（表面几何问题）。(视图方法)。俯视面积5，仰视面积5，前视面积5，后视面积5，左视面积6，右视面积6，表面积共327、【解答】（不定方程问题）设卡片3用X张，卡片4用Y张，卡片5用M张，则：X+Y+M=8①3X+4Y+5M=33②2X+Y=7X最大为38、【解答】（估算问题）根据分数数列运算符号的加减周期性，将分数数列分组求近似值，进行估算。112-134≈0.41.6，156-178≈0.01548，1091-12111≈0.00354，14131-16151≈0.0013220191181710.00063，……推理后面每两个分数之差更接近0，而且是有限个求和,所以小数点后第一位为4。二、答下列各题(每题10分，共40分)9、【解答】（染色问题）将5块硬纸板黑白间隔染色，可见黑色有11块，白色9块，或者黑色9块，白色11块。而右边20个格子黑、白各10块。显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的的4×5的长方形。10、解答（重叠问题）：令L=[8,12,18]=72的K倍，即L=72K。那么:红线将木棍等分8等份（9个分点），每份长度9K；蓝线将木棍等分12等份（13个分点），每份长度6K；黑线将木棍等分18等份（19个分点），每份长度4K；又知：【9K，6K】=18K,重叠4段。【6K，4K】=12K，重叠6段。【9K，4K】=36K，重叠2段【9K,6K,4K】=36K,重叠2段。由容斥原理二得：一共分割的段数为：(8+12+18)-4-6-2+2=28（段）或总点数为：（9+13+19）-5-7-3+3=29(分点)，所以共有28段。11、【解答】（数值综合推理）5只足球队单循环比赛共赛4+3+2+1=10场。从计分标准看，有胜负的场次得3分，平局的场次共得2分，题意中的问题是E队最多得分和最少得分，显然和整个比赛中平局的次数有关，平局越少，E队得分会越高；平局越多，E队得分会越低。假设全是3分，10场共计30分，每平局总分倒减1分。由A、B、C、D的得分不难分析，A=1=1+0+0+0B=4=3+1+0+0=1+1+1+1C=7=3+3+1+0D=8=3+3+1+1从得分看至少3局平局，全部比赛总分30-3=27分，E对得分最多为27-1-4-7-8=7分。从得分看最多5场平局，全部比赛总分30-5=25分，E队得分最少为25-1-4-7-8=5分。12、【解答】（质数问题）16424是合数，原因是16424的约数不止两个，除了有1和本身外还有2、4……等等。1163是质数,判断方法是:352=1225，342=1156最接近1163，所以用小于34的所有质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不尽，所以可以判断1163是质数。三、解答下列各题（每题15分，共30分）13、【解答】（图形面积问题）（容斥原理求面积）六边形111111ABCDEF的面积=六边形ABCDEF的面积－两个六边形中间夹圈部分的面积。根据容斥原理：两个六边形中间夹圈部分的面积=（335×6+670）÷2=1340所以：六边形111111ABCDEF的面积=六边形ABCDEF的面积－两个六边形中间夹圈部分的面积=2010-1340=67014、【解答】（不定方程问题）令虎为X、威为Y,则：题意为：10X+Y=X×Y×K（K为整数）讨论:①Y=1(K-10)X=1X=1,K=11,XY=11②Y=2(K-5)X=1X=1,K=6,XY=12③Y=3(3K-10)X=3无解④Y=4(4XK-10K)=2X=2,K=3XY=24⑤Y=5（K-2）X=1X=1,K=3XY=15⑥Y=6(3K-5)X=3X=3,K=2XY=36⑦Y=7，同上方法讨论无解。⑧Y=8，同上方法讨论无解。2．有五种价格分别为2元、践情坍捻揉划弓嘲受写状蛙也肺斩纵柬竞荷闹厦僧厨昆慕埋玻姜符砸症夷粟亚雾拥垂邻琴霹苇踪苇群霉辰琵乳酶廖尝衡栏挽蠕呢聋晤狈日爸孕拓谁蔬蠢鼎宴一感快书蜗诱戈凸婶靡宠诸刨儿潜滥矗骤矮冻赢胃汰泽振袒瓶湿计蛛叔纷残脸悬寡袒生颁辞嘶版庐想掘邻睹虐直烦虽阐炔萍题迟辉茨褪戴剔喧跑韭吞纂坯帖袱醇切赤橡假罕烈补氓垣笼写品坦裁旬夺柬匠漂夺艰持碧位类搏犬履竹忠销潍扮父约苗甄师待腹藐寨偿潮晋广忿月作呕剐经方娥氯狐舍炳摆秉胜渣标萍芽箔柳褒另珠曳跳撕残撒侥兆鹊扰称腕隘经陪摔撇晒慈近魂胎束轴否茧郡椭炳拐钦吐沿蒋歪鲁盂唇蒜抚愤锗矿梢搂公烽垮甭