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课题一元一次方程的应用问题授课日期及时段教学目的1、掌握列方程解应用题的一般步骤;2、掌握诸如行程问题、等积变形、调配问题、利率问题、工程问题这些常见的数量关系，列出方程。教学内容一、问题解决：（一）检查并讲评上次布置的作业上次作业是关于一元一次方程的习题，包括一元一次方程的概念、简单计算等，检查学生完成情况，对作业进行讲解。（二）处理学生日校布置的作业，讲解疑难问题查看学生日校作业完成质量，对其错题进行点拨，解决学生日校作业中的疑难问题。二、知识点梳理：（一）一元一次方程的应用问题包括：1、行程问题：（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度2、工程问题：工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：①工作量=工作效率×工作时间②工作时间=③工作效率=3、利润问题：利润＝每个期数内的利息本金×100%利息＝本金×利率×期数（二）一元一次方程解实际应用问题的一般步骤：1、审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；3、列方程：根据相等关系列出方程；4、解方程：求出未知数的值；5、检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出三、例题讲解：考点1:一元一次方程在行程问题上的应用例1：某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？解：这一问题实际上分为两个过程：①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。在追及过程中，设追及的时间为x秒，队伍行进（即排头）速度为90米/分=1.5米/秒，则排头行驶的路程为1.5x米；追及者的速度为3米/秒，则追及者行驶的路程为3x米。由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”，有：3x－1.5x=450∴x=300在相遇过程中，设相遇的时间为y秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为1.5y米，返回者行驶的路程为3y米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有：3y+1.5y=450∴y=100，故往返共需的时间为x+y=300+100=400（秒）答：往返时间共需要400秒变式：有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为600x分．则过完第二铁桥所需的时间为250600x分．依题意，可列出方程600x+560=250600x解方程x+50=2x-50得x=100∴2x-50=2×100-50=150答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米考点2：一元一次方程在利润问题上的应用例1：某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台．（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程1500x+2100（50-x）=90000即5x+7（50-x）=3002x=50x=2550-x=25②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，可得方程1500x+2500（50-x）=90000+5（50-x）=1800得x=35所以50-x=15③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．可得方程2100y+2500（50-y）=9000021y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．（2）若选择（1）中的方案①，可获利150×25+250×15=8750（元）若选择（1）中的方案②，可获利150×35+250×15=9000（元）90008750故为了获利最多，选择第二种方案．变式：一牛奶制品厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；若将鲜奶制成奶粉销售，每加工1吨鲜奶可获利2000元；若将鲜奶制成酸奶销售，每加工1吨鲜奶可获利1200元。该厂的生产能力是：若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1吨；若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3吨，由于受设备和人员的限制，奶粉和酸奶不能同时生产，为保证生产质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部销售或加工完毕，请问：你能设计出哪几种生产方案？哪种生产方案获利最大，最大利润是多少？解：生产方案如下：（1）将9吨鲜奶全部制成酸奶，则可获利1200×9=10800（元）。（2）4天内全部生产奶粉，则有鲜奶得不到加工而浪费，且利润仅为2000×4=80000（元）（3）4天中，用x天生产酸奶，用(4-x)天生产奶粉，并保证9吨鲜奶如期加工完毕。由题意，得3x+（4-x）×1=9解得x=2.5∴4-X=1.5(天)故在4天中,用2.5天生产酸奶,用1.5天生产奶粉,则2.5×3×1200+1.5×1×2000=12000(元)答：第3种方案获利最大，最大利润为12000元。考点3：一元一次方程在工程问题上的应用例1：加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？解：将全部任务的工作量看作整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设乙需工作x天，则甲再继续加工（12－x）天，乙完成的工作量为，甲完成的工作量为，依题意有+=1∴x=8答：乙需要工作8天后再继续加工才可以正好按期完成任务。变式：一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注满水池？解：由题设可知，甲、乙、丙工作效率分别为、、－（进水管工作效率看作正数，排水管效率则记为负数），设ｘ小时可注满水池，则甲、乙、丙的工作量分别为，、－，由三水管完成整体工作量1，有+－＝1∴x=5答：需5小时注满水池。四、随堂练习：练习1：汽车从A地到B地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：若每小时行驶45km，就可以早到半小时。求A、B两地的距离。分析：先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题，我们通常都称其为“先后问题”。在这类问题中主要考虑时间量，考察两者的时间关系，从相隔的时间上找出相等关系。解：设A、B两地的路程为xkm，速度为40km/小时，则时间为小时；速度为45km/小时，则时间为小时，又早到与晚到之间相隔1小时，故有－=1∴x=360练习2：收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。收割了后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。因此比预计时间提前1小时完工。求这块麦地有多少亩？解：设麦地有x亩，即总工作量为x亩，改用新式工具前工作效率为4亩/小时，割完x亩预计时间为小时，收割亩工作时间为/4=小时；改用新式工具后，工作效率为1.5×4=6亩/小时，割完剩下亩时间为/6=小时，则实际用的时间为（+）小时，依题意“比预计时间提前1小时完工”有－（+）=1∴x=36答：这块麦地有36亩。练习3：某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。如果商店销售这种商品时，要获利12％，那么这种商品的销售价应定多少？解：设销售价每件x元，销售收入则为（10+40）x元，而成本（进价）为（5×10+40×12.5），利润率为12％，利润为（5×10+40×12.5）×12％。由关系式①有（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％∴x=14.56答：这种商品的销售价应该定14.56元。五、课堂小结：这节课学习了哪些内容呢？1、如何利用一元一次方程解决实际生活中的行程问题；2、如何利用一元一次方程解决实际生活中的利润问题；3、如何利用一元一次方程解决实际生活中的工程问题。六、课后习题：1、国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20％，银行一年定期储蓄的年利率为1.98％，今年小刚取出一年到期的本金及利息时，缴纳了3.96元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为.2、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。问这种商品的定价是多少？3、甲、乙两人从相距为180千米的A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.已知甲的速度为15千米/时，乙的速度为45千米/时.经过多少时间两人相遇？4、小明把压岁钱按定期一年存入银行.到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为507.92元.问小明存入银行的压岁钱有多少元？5、小明，小颖二人分别后，沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向小明迎面驶来，列车在小明身旁开过，用了15秒；然后在小颖身旁开过用了17秒.已知两.人的步行速度都是3.6千米／4,时，问这列火车有多长?6、某工厂现有某种原料库存1200吨，可以用来生产A，B两种产品.每生产1吨A种产品需这种原料2吨，生产费用1000元；每生产1吨B种产品需这种原料2.5吨，生产费用900元.可用来生产这两种产品的资金为53万元.问A，B两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完?答案：1、1000元2、300元3、3小时4、500元5、255米6、A种产品生产350吨，B种产品生产200吨.