求数列前N项和的常用方法

求数列前N项和的常用方法核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，一.用公式法求数列的前n项和1、等差数列：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)]1(21[nnkSnkn例1：求数列的前n项和Sn变1、已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.变1、设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.二.用裂项相消法求数列的前n项和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则例题2：求数列(n∈N*)的和变1、求数列,11,,321,211nn的前n项和.变2、在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.三.用错位相减法求数列的前n项和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{}na、{}nb分别是等差数列和等比数列.例题3：求数列{nan}(n∈N*)的和变1、求和：132)12(7531nnxnxxxS变2、求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.四.用倒序相加法求数列的前n项和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.例4：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2变1、求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值五.用分组求和法求数列的前n项和若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例题5：求S=12-22+32-42+…+(-1)n-1n2(n∈N*)变1、求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…变2、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.六.用迭加法求数列的前n项和{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，例题6：已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之差成等差数列，求它的前n项和。七.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。例题7：求的和