PDE课件——数学物理方程1

偏微分方程2010-2011第二学期理科班李亚纯第一章绪论偏微分方程（PartialDifferentialEquations）指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导数的方程悠久的历史广泛的应用数学的发展悠久的历史：著名的弦振动方程20ttxxuau1727:JohnBernoulli,离散质量情形d’Alembert(研究弦振动方程的先驱)1746：《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》特殊的偏微分方程最早出现在1734年Euler的著作中，并于1743年出现在d’Alembert的《论动力学》中。22112(2)kkkkdunauuudtl广泛的应用：传统学科流体力学：Navier-Stokes方程组(粘性流体)Euler方程组(无粘流体)弹性力学：Saint-Venant方程组电动力学：Maxwell方程组(电磁场)量子力学：Schrödinger方程Dirac方程(微观粒子)广义相对论：Einstein方程(引力场)规范场：Yang-Mills方程磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学……交叉学科生物数学：生物种群动力学传染病动力学DNA分子动力学金融数学：随机微分方程经济学社会科学……数学的发展：偏微分方程推动数学其他分支的发展：函数论变分法级数展开常微分方程代数微分几何……参考书Courant-Hilbert:MethodofMathematicalPhysicsFritzJohn:PartialDifferentialEquationsWalterStrauss:PartialDifferentialEquations,AnIntroductionLawrenceC.Evans:PartialDifferentialEquations李大潜，秦铁虎：物理学与偏微分方程§1偏微分方程的基本概念与研究内容§2典型方程的数学模型§3二阶线性偏微分方程简介1.什么是偏微分方程？物理量(如位移、温度等)----时间、空间位置u),,(,321xxxxt---------------),,,(),(321xxxtuxtuu物理量的变化规律)(等式系式的各阶偏导数满足的关及关于函数xtu(偏微分方程)§1偏微分方程的基本概念与研究内容一般形式：112121112(,,,)(,,,),,,,(,,)nnnnkknkknxxxuuxxxuuDuxxuDukkkxxkN：：120(,,,,,,,)(*)NnFxxxuDuDu自变量未知函数一般形式：120(,,,,,,,)(*)NnFxxxuDuDu例子：0:),()1(yuyxuu0:),()2(xyuyxuu)(),(:),()3(为已知函数wyxwuyxuuxy)()(为任意函数fxfu),)(()(为任意连续可微函数gfygxfu),()()(),(00为任意连续可微函数gfygxfdsdttswuxxyy)(),()()(0,yxfyxufsfuuuutusuuuutusuuyxtyxsttsytysytsxtxsx为任意函数作变量代换)(),(0aybxfubabuauyx为常数一般地，yxuuyxuu:),()4()(0)(0热传导方程弦振动方程xxtxxttuuuu:),()6(yxuu:),()5(xtuu)(0调和方程yyxxuu可验证:(),(),sin()cos()nnxtxtxtxt均满足弦振动方程212xt满足热传导方程均为解可验证:3232330,,sinsinh()yxyxxynxnyn0:),()7(xxyyuyxuu0:),,()8(zuzyxuu方程组)(00)9(Riemann-Cauchyxyyxvuvu)()()()(11xygygyxfxfu))(,(为任意函数fyxfu010uuyxuuxx:),()(()cos()sinufyxgyx2.相关基本概念阶数(Order)：未知函数偏导数的最高阶数；维数(Dimension)：空间变量的个数；（对发展型方程：维数=自变量个数－1；对非发展型方程：维数=自变量个数）1(,,)nuuxx解(Solution)：1(,,)nxx（求解区域）在内足够光滑，且处处满足偏微分方程（*）称为偏微分方程（*）的经典解：自由项：方程中与未知函数无关的项齐次方程(Homogeneous)：不含非零自由项项即为自由项，也称右端),,(),,(),,,,,,(nnNnxxgxxguDDuuxxG111非齐次方程(Nonhomogeneous)：含有非零自由项线性(Linear)方程：vGbuGabvauGxxguGn~~)(~),,(~1方程改写为否则称为非线性(Nonlinear)方程半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性NxguDxA),()(.),,,(nn11),,,(nxxx1NNxguDDuuxAuDxA),(),,,,()(10拟线性(Quasi-Linear)：最高阶导数本身是线性的),(),,,,(),,,,(xguDDuuxAuDuDDuuxANNN101完全非线性(FullyNonlinear)：最高阶导数是非线性的线性(Linear)：多重指标（Multi-index）例子：)()(波动方程02zzyyxxttuuuau)()(热传导方程02zzyyxxtuuuau)(调和方程0zzyyxxuuu二阶线性齐次23xuxuxt223uuxuxt一阶线性非齐次一阶半线性非齐次)'(sBurgeruuuxt0),()(xtgufuxt一阶拟线性齐次一阶完全非线性非齐次)MechamicsQuantum(0xxtiuu二阶线性齐次Bar)(Vibrating0xxxxttuu四阶线性齐次n)interactiowith(Wavexxttuuu3二阶半线性齐次)(KdVuuuuxxxxt0三阶半线性齐次xxttuu)(二阶拟线性齐次3.研究内容：一般规律+定解条件(初始条件、边界条件)定解问题定解问题的适定性：存在性（Existence）唯一性（Uniqueness）稳定性（Stability）+附加条件方程§2典型方程的数学模型§2.1波动方程的定解问题§2.2热传导方程的定解问题§2.3调和方程的定解问题§2.4一阶方程（组）的例子§2.5其他方程的例子§2.1波动方程的定解问题波动方程是描述振动与波的传播现象的一种发展方程弦的横振动（弦振动方程）杆的纵振动一维非线性弹性振动电报方程膜的横振动声波方程电磁波方程1.弦振动方程的导出考虑一根张紧的均匀柔软的细弦，受垂直于弦的外力作用，在平衡位置附近作微小的横振动平衡位置：弦静止时的位置，通常设为X轴；均匀：弦的线密度(单位长度的质量)ρ为常数；柔软：张紧的弦在离开平衡位置时，其上的每一点均不抗拒弯曲，从而弦的张力方向沿着其切线方向；弦的形变伸长与张力满足Hooke定理横振动：振动发生在同一平面内，且弦上各点的位移与平衡位置垂直；外力：外力密度(单位长度受到的外力)为F；轴的位移时刻的垂直于点在：弦上Xtxtxu),(微小：振幅相对于弦长很小1xu倾角很小长保持不变即振动过程中任一段弦不计，故弦的长度变化可忽略弧长为一段弧的一段弦，振动后变为原长为dxdxudsdxx21,微元分析法：在物体中任取一个微小的立方体(微元)，在其上建立相应的物理量的平衡关系式，再令微元的直径趋向于零xxx)(xTxu2)(xxT1gF上力的平衡：考虑微元],[xxx受力情况：;),~~(),(;),~(),();(),(xtxudxtxuxgxtxFdxtxFxxTxTttxxxttxxx惯性力：重力：外力：张力：水平方向：02222212121011111111110TxxTxTxxTxTtxxutxuxxTxTxx)()()()(),(tancos),(tancoscos)(cos)(垂直方向：),~(),(),(),~~(),~(),(),(),~~(),(tansin),,(tansin),~~(),~(sinsintxFxtxutxxuTgtxuxtxFtxutxxuTxgxtxutxxutxuxtxuxtxFxgTTxxttxxttxxtt0022111020),(),(),(txftxuatxuxxtt2（强迫弦振动方程）没有外力作用时：有外力作用时：02),(),(txuatxuxxtt（自由弦振动方程）),(),(,),~~,~().(),~~(txftxFaTxxxxggtxutt200记此时令可忽略2.定解条件的导出)(),(),(),(xxuxxut00或记为);(),(xuxuttt00或记为)()()()(:初始速度初始位移xuxutt0A.初始条件B.边界条件A.初始条件例1在d处将弦拉升至h后静止,然后放手让其自由振动00)(,),(,)(xlxdxldlhdxxdhx0ldh例2弦静止于平衡位置，经敲击后开始振动始速度为由初始冲量决定的初)(,)(xx0例10000),(),(tlutuuulxx或记为，例2弦的端点自由滑动：即弦的端点不受垂直方向力的作用，也即张力在垂直方向的分量为零0000),(),(,tlutuuuxxlxxxx或记为00xuT的弦两端固定长为lB.边界条件例3弦的端点固定在弹性支承上),(21kk弹性系数分别为00000022011220110TkTkuuukuTlxuuukuTxxxxx,::00201lxxxxuuuu,)(:);(:tgulxtgux210)(:);(:tgulxtguxxx21000212211,)(:);(:tguulxtguuxxx注：两端点可以取不同类型的边界条件边界条件一般可分为三类：第一类边界条件(Dirichlet)：第二类边界条件(Neumann)：第三类边界条件(Robin)：3.其他模型的例子xxx(,)uxt：杆上点在时刻的纵向位移xtttxxxxxSuxSEuSEu0:x0ttxxuEu2/:aE20ttxxuau均匀杆的纵振动一维非线性弹性振动0ttxxuu对弹性弦的横振动或弹性杆的纵振动，若作用力与形变不满足Hooke定律时，即有():非线性函数0()ttxxtLCjjLGRCjRGj,,,,:RGCLj电阻，线间电漏，电容，电感，电流密度1,:RG21/,//aLCbGCRL20ttxxjaj20ttxxtjajbj电报方程张紧的柔软均匀膜在垂直于平衡位置平面方向的微小横振动xy(,,)uxyt：膜在点时刻离开平衡位置的横向位移,xyt0()ttxxyyuTuu:面密度:T张力2/:aT20()ttxxyyuauu膜的横振动2222xy（Laplace算子）20ttuau声波方程230tta气体