搜索
高等数学学习指导书第四章不定积分63第四章不定积分17世纪最伟大的成就之一就是微积分的创立。数学和科学中的巨大发展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的。需要有一两个人来走那最高和最后的一步。这一两个人要能够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且足够大胆地制定一个宏伟的计划。就微积分的创立而言，这一两个人就是Newton(牛顿1642-1727)和Leibniz（莱布尼兹1646-1716）Newton和Leibniz平分的对微积分的极端重要的贡献之一是把面积、体积与其他以前作为和来处理的问题归并到反微分，即我们现在所说的积分。因此，在17世纪促使微积分产生的四个主要科学问题—速率、切线、最值、求值—全部归结为微分和反微分（积分）。Newton利用导数与它的逆解决了微积分的诸多问题。Leibniz第一次表达出求和与微分之间的关系：作为求和的过程的积分是微分的逆。在他的手稿中第一次采用了积分号“∫”。记号“∫”是“sum”（和）的第一个字母s的拉长。不定积分是求导的逆，是讨论给定一个函数，如何寻求一些可导函数，使它们的导数等于所给定函数。这是积分学的基本问题之一。一、内容提要1、原函数如果在某区间I上可导函数()Fx的导函数为()fx，即对每一个xI∈，都有()()Fxfx′=或()()dFxfxdx=，则称函数()Fx为函数()fx在该区间I上的一个原函数。2222、原函数存在的条件（1）连续函数一定有原函数。（2）初等函数在其定义区间内都有原函数。（3）若()fx在I上有原函数，则必有无数个原函数。（4）任意两个原函数间只相差一个常数。高等数学学习指导书第四章不定积分64（5）若()Fx是()fx在区间I上的一个原函数，则()fx在区间I上的全体原函数记为()FxC+（C为任意常数）3、不定积分：在区间I上，()fx的所有原函数称为函数()fx在区间I上的不定积分，记为()()fxdxFxC=+∫，其中C为任意常数。4444、不定积分与微分的关系：先积后微，形式不变；先微后积，相差一个常数。即（1）[()]()fxdxfx′=∫或()()dfxfxdx′=；（2）()()FxdxFxC′=+∫或()()dFxdxFxC=+∫5555、不定积分的性质（1）两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差），即[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx±=±∫∫∫（2）求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面，即()()kfxdxkfxdx=∫∫（k为常数，0k≠）6666、基本积分公式（1）0dxC=∫（2）kdxkxC=+∫（k为常数）（3）11(1)1xdxxCµµµµ+=+≠−+∫（4）1lndxxCx=+∫（5）lnxxaadxCa=+∫（6）xxedxeC=+∫（7）cossinxdxxC=+∫（8）sincosxdxxC=−+∫（9）221sectancosdxxdxxCx==+∫∫（10）221csccotsindxxdxxCx==−+∫∫（11）sectansecxxdxxC=+∫（12）csccotcscxxdxxC⋅=−+∫（13）21arctan1dxxCx=++∫（14）21arcsin1dxxCx=+−∫7777、求不定积分的基本方法（1）直接法：直接利用不定积分的性质，基本积分公式求积分，或者对被积函数作恒等变高等数学学习指导书第四章不定积分65形后再利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分的方法。（2）第一类换元法（凑微分法）设法将被积函数()fx凑成()[()]()fxgxxϕϕ′=，且[()]gxϕ的原函数容易求出，则()[()]()[()][()][()]fxdxgxxdxgxdxGxCϕϕϕϕϕ′===+∫∫∫，其中：[()][()]Gxgxϕϕ′=。常用的凑微分公式有：1()()()(0)faxbdxfaxbdaxbaa+=++≠∫∫11()()()(0)nnnnfaxbxdxfaxbdaxbaan−+⋅=++≠⋅∫∫（0n≠）21111()()()fdxfdxxxx⋅=−∫∫1()()2()()fxdxfxdxx⋅=∫∫1(ln)(ln)(ln)fxdxfxdxx⋅=∫∫1()()()(0)axaxaxaxfeedxfedeaa⋅=≠∫∫(sin)cos(sin)(sin)fxxdxfxdx⋅=∫∫(cos)sin(cos)(cos)fxxdxfxdx⋅=−∫∫21(tan)(tan)(tan)cosfxdxfxdxx⋅=∫∫21(cot)(cot)(cot)sinfxdxfxdxx⋅=−∫∫21(arcsin)(arcsin)(arcsin)1fxdxfxdxx⋅=−∫∫21(arccos)(arccos)(arccos)1fxdxfxdxx⋅=−−∫∫21(arctan)(arctan)(arctan)1fxdxfxdxx⋅=+∫∫()1(())ln()()()fxdxdfxfxCfxfx′==+∫∫高等数学学习指导书第四章不定积分66（3）第二类换元法先对积分变量进行换元，简化被积函数的形式，再求积分。1()()1()[()]()[()]()()[()]xttxfxdxftdtfttdtFtCFxCϕϕϕϕϕϕϕ−==−′======+====+∫∫∫其中()xtϕ=及()tϕ′都连续且()0tϕ′≠。常用的几种变量代换有：ⅰ）被积函数含有根式naxb+，令ntaxb=+ⅱ）被积函数含有根式22ax−，令sin()22xattππ=−或cos(0)xattπ=ⅲ）被积函数含有根式22ax+，令tan()22xattππ=−ⅳ）被积函数含有根式22xa−，令sec(0)2xattπ=（4）分部积分法分部积分公式：()()()()()()uxdvxuxvxvxdux=−∫∫，简记为udvuvvdu=−∫∫常用的分部积分类型有：ⅰ）被积函数是幂函数与正（余）弦函数（或指数函数）的乘积，将幂函数选为()ux，使用分部积分法可以降低幂函数的次数。（被积函数形如sin,cos,,nnnaxxaxxaxxe此时常选()nuxx=）ⅱ）被积函数是幂函数与对数函数（或反三角函数）的乘积，将对数函数（或反三角函数）选为()ux，使用分部积分可以在求积分的过程中去掉对数函数（或反三角函数）部分。（被积函数形如ln,arcsin,arctannnnxaxxxxx等，常将ln,arcsin,arctanaxxx选为()ux）。高等数学学习指导书第四章不定积分67ⅲ）被积函数是以e为底的指数函数与正（余）弦函数的乘积。()ux的选取可随意，使用若干次分部积分后，等式右边出现所求积分。此时只需解出所求积分即可。（被积函数形如：sin,cosaxaxebxebx，()ux选取随意）。8888、简单有理函数的积分将有理函数化成多项式与真分式之和，再把真分式部分利用待定系数法分解成若干个最简真分式的代数和。最简真分式只有如下四种：2211,,,()()nnMxNMxNxaxaxpxqxpxq++−−++++2(2,3,;40)npq=−L二、课程基本要求基本要求1、理解原函数与不定积分的概念；2、掌握不定积分的性质；3、熟练运用不定积分的性质及基本积分公式求不定积分；4、灵活运用第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法、分部积分法求不定积分；5、会计算简单有理函数的不定积分。重点与难点不定积分的计算既是本章的重点也是难点。掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式，能熟练运用直接法计算不定积分是基础。把握被积函数的特点，灵活选用适当的积分方法是学好这一章的关键。要熟记常见被积函数类型及其采用的积分方法，也要有一定量的习题练习积累，熟能生巧。三、典型例题分析例1111231(2sin3)1xxdxxx−+−+∫分析：直接利用不定积分的性质及基本积分公式即可求高等数学学习指导书第四章不定积分68解：231(2sin3)1xxdxxx−+−+∫12212sin33132cos6arctanln3xxxdxxdxdxdxxxxxC−=−+−+=−−+−+∫∫∫∫例22223()(1)xxxdxx−+∫分析：分子去括号展开合并，再拆项就可以用直接法解。解：3()(1)xxxdxx−+∫716631376666137xxxdxxdxxdxxxxC−==−=−+∫∫∫例333322cos2cossinxdxxx∫分析：22cos2cossinxxx=−，再拆项就可用直接法解解：22cos2cossinxdxxx∫222222cossin11cottancossinsincosxxdxdxdxxxCxxxx−==−=−−+∫∫∫例44444221(1)xdxx−+∫分析：先代数恒等变形，再分子加、减同一项就可用直接法解。解：4221(1)xdxx−+∫高等数学学习指导书第四章不定积分69222222222(1)(1)1(1)11212112arctanxxxdxdxxxxdxdxdxxxxxC−+−==+++−==−++=−+∫∫∫∫∫说明：以上四例都是用直接法求解，例2，例3解法中的分项、拆项方法和例4解法中的加、减同一项的方法是不定积分的常用方法。例55558132dxx−∫分析：被积函数18(32)x−−属常用凑微分法中的()faxb+形式，可将dx凑成1(32)2dx−−解：17888114(32)(32)(32)2732dxxdxxCx−=−−−=−−+−∫∫例6666342xxdx−∫分析：被积函数342xx⋅−属常用凑成微分法中的1()nnxfaxb−+的形式。，可将3xdx凑成41(2)4dx−−。解：342xxdx−∫134442211(2)(2)(2)46xdxxC=−−−=−−+∫例777723cosxdxx∫分析：被积函数213cosxx⋅属常用凑微分法中211()fxx的形式，可将21dxx凑成13()3dx−。解：23cos13313cos()sin33xdxdCxxxx=−=−+∫∫例88884xedxx∫高等数学学习指导书第四章不定积分70分析：被积函数41xex⋅属常用凑微分中1()fxx的形式，可将1dxx凑成1(4)2dx。解：44411(4)22xxxedxedxeCx==+∫∫例99991(12ln)dxxx−∫分析：被积函数1(12ln)xx−属常用凑微分法中1(ln)fxx⋅的形式，可将1dxx凑成1(12ln)2dx−−。解：1111(12ln)ln12ln(12ln)212ln2dxdxxCxxx=−−=−−+−−∫∫例10101010sin(4)xxeedx+∫分析：被积函数sin(4)xxee+属常用凑微分法中()xxefe的形式，可将xedx凑成(4)xde+解：sin(4)sin(4)(4)cos(4)xxxxxeedxedeeC+=++=−++∫∫例1111111125cossinxxdx∫分析：被积函数2524222cossincossinsincos(1cos)sinxxxxxxxx==−246(cos2coscos)sinxxxx=−+，属常用凑微分中sin(cos)xfx⋅形式，可将sinxdx凑成(cos)dx−。解：25222cossincos(1cos)sinxxdxxxxdx=−∫∫246357(cos2coscos)(cos)121coscoscos357xxxdxxxxC=−−+=−+−+∫例1212121243sincosxxdx∫高等数学学习指导书第四章不定积分71分析：被积函数434242sincossincoscossin(1sin)cosxxxxxxxx=⋅⋅=⋅−⋅46(sinsin)cosxxx=−属常用凑微分法中cos(sin)xfx形式，可将cosxdx凑成(sin)dx。解：43sincosxxdx=∫4246sin(1sin)cos(sinsin)(sin)xxxdxxxdx⋅−⋅=−⋅∫