高中数学求值域的10种方法

第1页共12页求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1．求函数1yx的值域。【解析】∵0x，∴11x，∴函数1yx的值域为[1,)。【练习】1．求下列函数的值域：①32(11)yxx；②xxf42)(；③1xxy；○4112xy，2,1,0,1x。【参考答案】①[1,5]；②[2,)；③(,1)(1,)；○4{1,0,3}。二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如2()()()Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。例2．求函数242yxx（[1,1]x）的值域。【解析】2242(2)6yxxx。∵11x，∴321x，∴21(2)9x，∴23(2)65x，∴35y。∴函数242yxx（[1,1]x）的值域为[3,5]。例3．求函数)4,0(422xxxy的值域。【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2xfxxxf配方得：)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得4,0)(xf，从而得出：0,2y。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(xf。例4．若,42yx0,0yx，试求yxlglg的最大值。第2页共12页【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)Pxy在直线42yx上滑动时函数xyyxlglglg的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lglglglg[(42)]lg[2(1)2]xyxyxyyyy而，y=1时，yxlglg取最大值2lg。【练习】2．求下列函数的最大值、最小值与值域：①142xxy；②]4,3[,142xxxy；③]1,0[,142xxxy；④]5,0[,142xxxy；○5xxxy422，]4,41[x；○6223yxx。【参考答案】①[3,)；②[2,1]；③[2,1]；④[3,6]；○573[6,]4；○6[0,2]三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例5．求函数12xxy的值域。分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。12xxy反解得yyx2，故函数的值域为(,2)(2,)。【练习】1．求函数2332xyx的值域。2．求函数axbycxd，0,dcxc的值域。【参考答案】1．22(,)(,)33；(,)(,)aacc。四．分离变量法：适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。第3页共12页例6：求函数125xyx的值域。解：∵177(25)112222525225xxyxxx，∵72025x，∴12y，∴函数125xyx的值域为1{|}2yy。适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(xfky(为k常数)的形式。例7：求函数122xxxxy的值域。分析与解：观察分子、分母中均含有xx2项，可利用分离变量法；则有22221111xxxxyxxxx21113()24x。不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf从而,43)(xf。注意：在本题中若出现应排除0)(xf，因为)(xf作为分母.所以4()0,3gx故1,31y。另解：观察知道本题中分子较为简单，可令222111xxtxxxx，求出t的值域，进而可得到y的值域。【练习】1．求函数132222xxxxy的值域。【参考答案】1．10(2,]3五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例8：求函数212yxx的值域。解：令12tx（0t），则212tx，∴22151()24yttt。第4页共12页∵当12t，即38x时，max54y，无最小值。∴函数212yxx的值域为5(,]4。例9：求函数221(1)yxx的值域。解：因21(1)0x，即2(1)1x。故可令1cos,[0,]x，∴1cossincos11cosy21)4sin(2。∵4544,0，2sin()124，02sin()1124故所求函数的值域为]21,0[。例10.求函数34221xxyxx的值域。解：原函数可变形为：222121211xxyxx可令X=tan，则有222221sin2,cos11xxxx11sin2cos2sin424y当28k时，max14y当28k时，min14y而此时tan有意义。故所求函数的值域为41,41例11.求函数(sin1)(cos1)yxx，,122x的值域。解：(sin1)(cos1)yxxsincossincos1xxxx第5页共12页令sincosxxt，则21sincos(1)2xxt2211(1)1(1)22yttt由sincos2sin()4txxx且,122x可得：222t∴当2t时，max322y，当22t时，3242y故所求函数的值域为323,2422。例12.求函数245yxx的值域。解：由250x，可得||5x故可令5cos,[0,]x5cos45sin10sin()44y∵05444当4时，max410y当时，min45y故所求函数的值域为：[45,410]第6页共12页六、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程(,)0Fxy；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222axbxcyaxbxc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例13：求函数2231xxyxx的值域。解：由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y时，此方程无解；当1y时，∵xR，∴2(1)4(1)(3)0yyy，解得1113y，又1y，∴1113y∴函数2231xxyxx的值域为11{|1}3yy七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例14：求函数12yxx的值域。解：∵当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，∴函数12yxx在定义域1(,]2上是增函数。∴11112222y，∴函数12yxx的值域为1(,]2。例15.求函数11yxx的值域。解：原函数可化为：1x1x2y令1,121xyxy，显然21y,y在],1[上为无上界的增函数所以21yyy在],1[上也为无上界的增函数第7页共12页所以当x=1时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222显然0y，故原函数的值域为]2,0(适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）例16：求函数)4(log221xxy的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：2()4(()0)txxxtx配方得：2()(2)4()0,4)txxtx所以（由复合函数的单调性（同增异减）知：),2[y。八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用]1,1[cos],1,1[sinxx等。例17：求函数cossin3xyx的值域。解：由原函数式可得：sincos3yxxy，可化为：21sin()3yxxy即23sin()1yxxy∵xR∴sin()[1,1]xx即23111yy解得：2244y故函数的值域为22,44注：该题还可以使用数形结合法。coscos0sin3sin3xxyxx，利用直线的斜率解题。例18：求函数1212xxy的值域。第8页共12页解：由1212xxy解得121xyy，∵20x，∴101yy，∴11y∴函数1212xxy的值域为(1,1)y。九、图像法（数形结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例19：求函数|3||5|yxx的值域。解：∵22|3||5|822xyxxx(3)(35)(5)xxx，∴|3||5|yxx的图像如图所示，由图像知：函数|3||5|yxx的值域为[8,)例20.求函数22(2)(8)yxx的值域。解：原函数可化简得：|2||8|yxx上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），(8)B间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，|2||8|||10yxxAB当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，|2||8|||10yxxAB故所求函数的值域为：[10,]例21.求函数2261345yxxxx的值域。解：原函数可变形为：2222(3)(02)(2)(01)yxx上式可看成x轴上的点(,0)Px到两定点(3,2),(2,1)AB的距离之和，85-3oyx第9页共12页由图可知当点P为线段与x轴的交点时，22min||(32)(21)43yAB，故所求函数的值域为[43,]例22.求函数2261345yxxxx的值域。解：将函数变形为：2222(3)(02)(2)(01)yxx上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点)1,2(B到点)0,x(P的距离之差。即：||||yAPBP由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点'P，则构成'ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有22||'||'||||(32)(21)26APBPAB即：2626y（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||||||||26APBPAB综上所述，可知函数的值域为：(26,26]例23、：求函数xxycos2sin3的值域.分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212xxyyk，将原函数视为定点(2，3)到动点)sin,(cosxx的斜率，又知动点)sin,(cosxx满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3