不定积分习题讲解

1习题课第五节：第四章2第四章不定积分习题课1、主要内容框图；2、不定积分计算小结；3、例题选解.3积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分1、主要内容框图5(2).分项法(积分的线性性质)化所给不定积分为常见的积分类型之和复习题1求.d2cos12sin1xxx观察与分析:xxgkxxfkxxgkxfkd)(d)(d)]()([2121xx2cos12sin1,2cos12sin2cos11xxxxx2cos212cos11.)(tan21xxx2sin2)2cos1(可以用公式6(3).第一类换元法(凑微分法)关键点:如何确定中间变量u=j(x)?设F是f的一个原函数,u=j(x)可导,则有xxxfd)()]([jjCxF)]([j凑微分:)(dd)(xxxjj换元:CuFuuf)(d)(CxFxxf)]([)(d)]([jjj)(d)]([xxfjj71)xxxxdcossintanln;2)xxxxdlnln1.?)(,)(d)]([d)()]([xuxxfxxxfjjjjj)1,tanxu,cos12xuxxxxxx2costantanlncossintanln.lnuuu)2,lnxxu.ln1xu复习题2求下列不定积分:从被积函数中明显的复合部分去确定u观察与分析:8?)(,)(d)]([d)()]([xuxxfxxxfjjjjj.)1,)(arctandd112xxx)2,)(d21d2xxx复习题3求下列不定积分:1)xxxd1arctan2;2)xxxd14.,arctanxu,14xu.43xu不合适,2xu.111124ux通过凑微分确定u观察与分析:9?)(,)(d)]([d)()]([xuxxfxxxfjjjjj;)(.11dxxbaxfnn;)()(.2dxxxjj;)(ln.3dxxxf;1)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxeefxx;sec)(tan.72xdxxf.1)(arctan.82dxxxf常见的凑微分类型10(4).第二类换元法(积分变量代换法)tttfxxfd)()]([d)(jj设f连续,x=j(t)单调可导,则有常用的变量代换:1）三角代换：taxsin去根式22xataxtan去根式22xataxsec去根式22ax1）三角代换2）无理函数有理化11解.d12xex,12xet令,122tex.d1d2tttx),1ln(212tx复习题4求xexd12tttd122ttd)111(2Cttarctan.1arctan122Ceexx12（5).分部积分法分部积分公式:uvuvvudd分部积分基本题型:1)xbaxxPd)sin()(,xbaxxPd)cos()(,xexPaxd)(……取)(xPu2)xxPxnd)(ln,xxxndarctan……取xxvndd3)xbxexbxeaxaxdcos,dsin,xxdsec3……分部积分“回归法”13评注:凑微分是计算积分的首要过程.第一类换元法是复合求导的逆运算,是积出积分的重要一环.第二类换元法是积分计算的一种技术(常用于去根式).分部积分法是“乘积”求导的逆运算,是计算积分的一种过度性的主要手段,灵活多变,不容易掌握.切记:初等函数并不是都能“积得出”,不常见的积分题,计算当中会出现“恰好”之处(见例7).dxxx)1(11：计算不定积分：例dxxxdxxx1)(11)1(12解：duuxdxxu22112)](2[)(11cxcuarcsin2arcsin2三、例题选解dxxxx]41)23(12[223：计算不定积分：例dxxdxxdxx2341)23(12解：原式)2()2(11)]23(31[)23(12ln223xdxxdxx2arcsin)23()23(1312ln23xxdxxcxxx2arcsin)23(612ln22)0)()(3成立的是（原函数，则下列等式不）内的一个，在（是：设例xfxFcxFdxxxfA)(ln)(ln)(cxFdxxxfB)(sin)(sincos)(cxFdxxxfC)1()1(2)(22cFdxfDxxx)2()2(2)()c()2)(2(])2([xxxFcF解：2ln2)2(xxfcFcFdxfxxxx)2()2(2ln1)2(2)(D故正确的选择为dxxxxcos1sinsin42：求不定积分：例dxxxdxxxcos1sincos1sin2解：原式dxxxdxxxcos1cos1cos1)cos1(2dxxx)cos1(cos1lncxxxsincos1ln)()sin21(cos5dxxfx：积分例cxfA)sin21(2)(cxfB)sin21(21)(cxfC)sin21(2)(cxfD)sin21(21)()(),sin21(cos])sin21(21[Dxfxcxf故选解：)21)(()sin21(cossin21duufdxxfxxu或：).()sin21(21)(21Dcxfcuf正确的选择为dxxxcos1cos6：计算不定积分：例dxxxxx)cos1)(cos1()cos1cos（解：（方法一）原式dxxxdxxxdxxxx22222sincossincoscos1coscosdxxxxdx222sinsin1)(sinsin1dxdxxx2sin1sin1cxxxcotcscdxdxxdxxx2sin212sin22sin21222（方法二）原式dxxdx)2(2sin12cxx2cot20例7计算解xxxeeed2)(d)(d)(xxxeegxef.d22xeexxxeexxd22du2)2(2uuu.)2ln(2Ceexx回代uuuxeud2uu)d221(Cuu2ln21例8计算.dsin1cossin2xxxx解法一xxxxdsin1cossin2)d(sinsin1sin2xxx)sind(sin112122xx1.)sin1ln(212Cx22解法二xxxxdsin1cossin2xxxd)2cos1(2112sin21.)2cos3ln(21Cx)2cos(d2cos31xx32123..例9计算.dtansec2xxx解:xxxxdsecsectan3xxsecdtanxxxdtansec2xxxxxd)tan1(secsectan2xxxxxxxdtansecdsecsectan2xxxxxxxdtansec|tansec|lnsectan2xxxdtansec2.|)tansec|lnsec(tan21Cxxxx24解xxxxxd)1arctanarctan(22例10计算.d)1(arctan22xxxxxxxxd)1(arctan22)1(darctan)(arctandarctanxxxxxxxxxxd111arctan)(arctan2122xxxxxxxd)11(arctan)(arctan2122.)1ln(21||lnarctan)(arctan2122Cxxxxx25解.)1ln(2dxxx)1(1121)1ln(222xdxxxx.1)1ln(22Cxxxxdxxxxxx221)1ln(dxxx)1ln(2dxxxxd2211)1ln(例11计算26..,dsin1sinxxx,dsin11xx,dcos11xx.dcos1cosxxx类似题目:解：xxxdcossin12xxxxxdtansecdcos12.sectanCxx例12求.dsin11xxxxdsin1127解,1xet令),1ln(2tx则例13求.d1xexexx,d12d2tttxxexexxd1ttttttd12)1()1ln(222ttd)1ln(22ttttttd122)1ln(222ttttd)111(4)1ln(222Cttttarctan44)1ln(22.1arctan41412Ceeexxxx评注:第二类换元法去根式,使运算变得明晰.28