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第一章：1．为使氦氖激光器的相干长度达到1km，它的单色性λλ0∆应是多少？解：相干长度υυυ−=∆=12ccLc将λυ11c=，λυ22c=代入上式，得：λλλλλλ∆≈−=022121Lc，因此Lcλλλ00=∆，将nm8.6320=λ，kmLc1=代入得：10*328.618.632100−==∆kmnmλλ2．如果激光器和微波激射器分别在mµλ10=，nm500=λ和MHz3000=υ输出1W连续功率，问每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？解：chphpnλυ==（1）个10*03.510*3*10*626.610*1191834≈=−−msJsmWnµ（2）个10*52.210*3*10*626.6500*1181834≈=−−msJsnmWn（3）个10*03.53000*10*626.612334≈=−MHzJsWn3．设一对激光能级为E2和E1（ff=12），相应频率为υ（波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n2和n1，求：（a）当MHz3000=υ，T=300K时，=nn12？（b）当mµλ1=，T=300K时，=nn12？（c）当mµλ1=，1.012=nn时，温度T=?解：eeffnnkThkTEE==−−−υ121212（a）110*8.4300*10*38.110*300010*626.64236*3412≈≈=−−−−−eenn（b）10*4.1216238341210*8.410*1*300*10*38.110*3*10*626.6≈≈==−−−−−−−eeennkThcλ（c）1.010*1*10*38.110*3*10*626.662383412===−−−−−eennTkThcλ得：KT10*3.63≈4．在红宝石Q调制激光器中，有可能将几乎全部Cr+3离子激发到激光上能级并产生激光巨脉冲。设红宝石棒直径1cm,长度7.5cm，Cr+3浓度为cm31910*2−，巨脉冲宽度为10ns，求输出激光的最大能量和脉冲功率。解：由于红宝石为三能级激光系统，最多有一般的粒子能产生激光：JnhcnhE1710*3.69410*3*10*626.6*10*2*5.7*)5.0(219834192max2121====−−πλυWEPR10*7.19max==τ5．试证明，由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命As211=τ证明：自发辐射，一个原子由高能级E2自发跃迁到E1，单位时间内能级E2减少的粒子数为：)(212dtdndtdnsp−=，自发跃迁几率ndtdnAsp2211)(21=nAdtdn2212−=，enennsttAtτ−−≡=2020221)(因此21sA1=τ6．某一分子的能级E4到三个较低能级E1E2和E3的自发跃迁几率分别是sA174310*5−=，sA174210*1−=和sA174110*3−=，试求该分子E4能级的自发辐射寿命τ4。若s10*571=−τ，s10*692=−τ，s10*183=−τ，在对E4连续激发并达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值nn41，nn42和nn43，并回答这时在哪两个能级之间实现了集居数反转。（1）sAAA10*1.1184142434−=++=τ(2)在稳定状态时，不考虑无辐射跃迁和热驰豫过程，对E3：τ33443nnA=，10*5134343==−τAnn实现E4和E3能级集居数反转对E2：τ22442nnA=，10*6224242==−τAnn实现E4和E2能级集居数反转对E1：τ11441nnA=，1514141==τAnn没有实现E4和E1能级集居数反转7．证明当每个模内的平均光子数（光子简并度）大于1时，辐射光中受激辐射占优势。证明：121212121==AWABnργ即受激辐射跃迁几率大于自发辐射跃迁几率。受激辐射优势大。8．（1）一质地均匀的材料对光的吸收系数为mm01.01−，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几？（2）一光束通过长度为1m的均匀激励的工作物质。如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。解：（1）eIzIzα−=)(0%8.36)(100*01.00≈==−−eeIzIzα（2）eIzIzg00)(=，eIzIzg=00)(eg=2L*0，mg107.0L2ln−≈=第二章1.试利用往返矩阵证明对称共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证明：设从镜M1→M2→M1,初始坐标为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ00r，往返一次后坐标变为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ11r=T⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ00r,往返两次后坐标变为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ22r=T•T⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ00r而对称共焦腔，R1=R2=L则A=1-2RL2=-1B=2L⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−2RL1=0C=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+121RL21R2R2=0D=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−211RL21RL21RL2=-1所以，T=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1001故，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ22r=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1001⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1001⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ00r=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ00r即，两次往返后自行闭合。2．试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔的稳定性条件为0g1•g21,其中g1=1-1RL,g2=1-2RL（a对平凹腔：R2=∞,则g2=1,01-1RL1，即0LR1(b)对双凹腔：0g1•g21,0⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−21RL1RL11LR1，LR2或LR1LR2且LRR+21(c)对凹凸腔：R1=1R,R2=-2R,0⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−21RL1RL11，LR1且LRR−||213．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。解：θ)n11(L−L由图可见有工作物质时光的单程传播有效腔长减小为无工作物质时的⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=n11LLLCe？由0⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+2111eeLL1，得2mL1me则17m.2L17m.1c4.图2.1所示三镜环形腔，已知l,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形强为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式（2.2.7）中的2/)cos(θRf=，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，)cos2/(θRf=，θ为光轴与球面镜法线的夹角。解:透镜序列图为∞=R∞=RRR1111rθ1212rθ2121rθ2222rθ3131rθ3232rθ4141rθ该三镜环形腔的往返矩阵为：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=DCBA10L11f1-0110L11f1-0110L11001T2fLfL31DA⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−==由稳定腔的条件：()1DA211+−，得：22fL1fL0⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2Lf3L或Lf。若为子午光线，由�30cosR21f=则32LR33L4或34LR若为弧矢光线，由�2cos30Rf=，则2L3R3L或R3R5．有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，L＝30cm，d=2a=0.12cm,nm8.632=λ,镜的反射率为11=r，96.02=r，其他损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM00，小孔边长应为多大？试根据图2.5.5作一大略的估计、氦氖增益由公式dlelg10*3140+=−计算。解:菲涅耳数9.18.632*30)06.0(22≈==nmcmcmLaNλ增益为075.112.03010*3140=+=−elgTEM00模衍射损耗为910*7.4−TEM01模衍射损耗为106−，总损耗为0.043，增益大于损耗;TEM02模衍射损耗为10*56−，总损耗为0.043，增益大于损耗;衍射损耗与腔镜损耗和其它损耗相比均可忽略，三横模损耗均可表示为234.0=δ105.1e*e0g=−lδ因此不能作单模运转为实现TEM00单横模运转所加小孔光阑边长为：mLs10*0.58.632*3022240≈==−ππλω6．试求出方形镜共焦腔面上TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：012833)(=−=XXHX01=X，263,2±=X，由26,02±=xLλπ得节线位置：01=x，πλ433,2Lx±=因此节线是等间距分布的。7．求圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。解：TEM02模的节线位置由缔合拉盖尔多项式：由02)()42(2102=+−=ζζζL得222,1±=ζ，又ωζ2022sr=则ωsr0221±=TEM20模的节线位置为0r=或sin2φ＝0，即：23,,2,0πππφ=8.今有一球面腔，mR5.11=，mR12−=，L＝80cm。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数。解：g1=1-1RL=0.47g2=1-2RL=1.8，g1•g2=0.846即：0g1•g21，所以该腔为稳定腔。由公式（2.8.4）Z1=()()()212RLRLLRL−+−−=-1.31mZ2=()()()211RLRLLRL−+−−−=-0.15mf2=()()()()()[]2212121RLRLLRRLRLRL−+−−+−−=0.25m2f=0.5m9.某二氧化碳激光器采用平凹腔，L＝50cm，R＝2m，2a＝1cm，mµλ6.10=。试计算ω1s、ω2s、ω0、θ0、δ100、δ200各为多少。解：1111=−=RLg，43122=−=RLg，⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−=))(()(211221411LRRLRLLRRLsπλω)]([241LRL−=πλ)(1∞→Rπλ443=m10*7.13≈−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−=))(()(212122412LRRLRLLRRLsπλω)(22241LRRL−=πλ，)(1∞→Rπλ434=m10*0.23≈−⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−−+=)1(]2[2212121212410ggggggggLπλθrad10*0.43≈−∞==2s121ef1aNπω,0100=δ05.2aN2s222ef2==πω,-1020010*8.1=δ10．试证明，在所有λLa2相同而R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。这里L表示腔长，RRR==21为对称球面腔反射镜的曲率半径，a为镜的横向线度。证明：在共焦腔中，除了衍射引起的光束发散作用以外，还有腔镜对光束的会聚作用。这两种因素一起决定腔的损耗的大小。对共焦腔而言，傍轴光线的几何偏折损耗为零。只要N不太小，共焦腔模就将集中在镜面中心附近，在边缘处振幅很小，衍射损耗极低。11．今有一平面镜和一R=1m的凹面镜，问：应如何构成一平凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长L的关系曲线。解：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−−+=)1(]2[2212121212410ggggggggLπλθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=ggL221241πλ，)1(1=g⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=)(12241LRLLπλ当mRL5.022==时，θ0最小.12．推导出平凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表达式，作出：（1）当R＝100cm时，ω1s，ω2s随L而变化的曲线；（2）当L＝100cm时，ω1s，ω2s随R而变化的曲线。解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−=))(()(211221411LRRLRLLRRLsπλω)]([241LRL−=πλ，)(1∞→R⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−=))(()(212122412LRRLRLLRRLsπλω)(22241LRRL−=πλ)(1∞→R（1）cmRR1002==(2)cmL100=13.某二氧化碳激光器，采用平凹腔，