2000考研数二真题及解析

Borntowin2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)30arctanlim.ln(12)xxxx(2)设函数()yyx由方程2xyxy所确定，则0.xdy(3)2.(7)2dxxx(4)曲线1(21)xyxe的斜渐近线方程为.(5)设1000230004500067A，E为4阶单位矩阵，且1()()BEAEA则1()EB.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数()bxxfxae在(,)内连续，且lim()0,xfx则常数,ab满足()(A)0,0.ab(B)0,0.ab(C)0,0.ab(D)0,0.ab(2)设函数()fx满足关系式2()[()]fxfxx，且(0)0f，则()(A)(0)f是()fx的极大值.(B)(0)f是()fx的极小值.(C)点(0,(0))f是曲线()yfx的拐点.(D)(0)f不是()fx的极值，点(0,(0))f也不是曲线()yfx的拐点.(3)设(),()fxgx是大于零的可导函数，且'()()()'()0,fxgxfxgx则当axb时，有()(A)()()()()fxgbfbgx(B)()()()()fxgafagxBorntowin(C)()()()()fxgxfbgb(D)()()()()fxgxfaga(4)若30sin6()lim0xxxfxx，则206()limxfxx为()(A)0.(B)6.(C)36.(D).(5)具有特解123,2,3xxxyeyxeye的3阶常系数齐次线性微分方程是()(A)0.yyyy(B)0.yyyy(C)61160.yyyy(D)220.yyyy三、(本题满分5分)设ln(1)(ln)xfxx，计算()fxdx.四、(本题满分5分)设xoy平面上有正方形(,)01,01Dxyxy及直线:(0)lxytt.若()St表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求0(),(0)xStdtx.五、(本题满分5分)求函数2()ln(1)fxxx在0x处的n阶导数(0)(3)nfn.六、(本题满分6分)设函数0()|cos|xSxtdt，(1)当n为正整数，且(1)nxn时，证明2()2(1)nSxn；(2)求()limxSxx.七、(本题满分7分)某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为6V，流入湖泊内不含A的水量为6V，流出湖泊的水量为3V，已知1999年底湖中A的含量为05m，超过国家规定指标.为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过0mV.问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至0m以内(注：设湖水中A的浓度是均匀的)八、(本题满分6分)设函数()fx在0,上连续，且00()0,()cos0fxdxfxxdx，试证明：在(0,)Borntowin内至少存在两个不同的点12,，使12()()0.ff九、(本题满分7分)已知()fx是周期为5的连续函数，它在0x的某个邻域内满足关系式(1sin)3(1sin)8()fxfxxx其中()x是当0x时比x高阶的无穷小，且()fx在1x处可导，求曲线()yfx在点(6,(6))f处的切线方程.十、(本题满分8分)设曲线2(0,0)yaxax与21yx交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线2yax围成一平面图形.问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一、(本题满分8分)函数()fx在[0,)上可导，(0)1f且满足等式01()()()0,1xfxfxftdtx(1)求导数()fx；(2)证明：当0x时，成立不等式()1xefx成立十二、(本题满分6分)设11012,,0,,2180TTAB.其中T是的转置，求解方程22442BAxAxBx十三、(本题满7分)已知向量组12301,2,1110ab与向量组1231392,0,6317具有相同的秩，且3可由123,,线性表出，求,ab的值.Borntowin2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】16【详解】33ln1222232322000011arctanarctan11limlimlimlim266ln1261xxxxxxxxxxxxxxxxx洛(2)设函数()yyx由方程2xyxy所确定，则0.xdy【答案】(ln21)dx【详解】方法1：对方程2xyxy两边求微分，有2ln2().xyxdyydxdxdy由所给方程知，当0x时1y.将0x，1y代入上式，有ln2dxdxdy.所以，0(ln21)xdydx.方法2：两边对x求导数，视y为该方程确定的函数，有2ln2()1.xyxyyy当0x时1y，以此代入，得ln21y，所以0(ln21)xdydx.(3)【答案】3【详解】由于被积函数在2x处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.作积分变量替换，令22,22,xtxtdxtdt02202122arctan.(9)33323(7)2dxttdtttxx(4)【答案】21yx【公式】ykxb为()yfx的斜渐近线的计算公式：lim,lim[()]xxxxxxykbfxkxxBorntowin【详解】11limlim(2)2,xxxykexx10122lim(2)lim[(21)2]lim()uuxxuxebyxxexuexu令002(1)2lim()1lim()211uuuuuueueeueuu所以，x方向有斜渐近线21yx.当x时，类似地有斜渐近线21yx.总之，曲线1(21)xyxe的斜渐近线方程为21yx.(5)【答案】1000120002300034【详解】先求出1()EB然后带入数值，由于1()()BEAEA，所以11111()()()()()()()12()()22000100024001200104600230200680034EBEEAEAEAEAEAEAEAEA－１－１－１二、选择题(1)【答案】D【详解】排除法：如果0a，则在(,)内()fx的分母bxae必有零点0x，从而()fx在0xx处不连续，与题设不符.不选()A，若0b，则无论0a还是0a均有lim(),xfx与题设lim()0xfx矛盾，不选()B和()C.故选()D.(2)【答案】CBorntowin【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数()fx在0x出具有二阶导数且0()0fx，0()0fx，那么：(1)当0()0fx时，函数()fx在0x处取得极大值；(2)当0()0fx时，函数()fx在0x处取得极小值；【详解】令等式2()[()]fxfxx中0x，得2(0)0(0)0ff，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：2()(())12()()fxxfxfxfx以0x代入，有(0)1f，所以00()(0)()(0)limlim10xxfxffxfxx.从而知，存在0x去心邻域，在此去心邻域内，()fx与x同号，于是推知在此去心邻域内当0x时曲线()yfx是凸的，在此去心临域内0x时曲线()yfx是凹的，点(0,(0))f是曲线()yfx的拐点，选(C).(3)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数.题设中已知'()()()'()0,fxgxfxgx想到设函数为相除的形式()()fxgx.【详解】设()()()fxFxgx，则2'()()()'()()0,()fxgxfxgxFxgx则()Fx在axb时单调递减，所以对axb，()()()FaFxFb，即()()()()()()fafxfbgagxgb得()()()(),fxgbfbgxaxb，()A为正确选项.(4)【答案】()C【分析】本题有多种解法：(1)将含有()fx的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或Borntowin反之；(2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出()fx代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限.【详解】方法1：凑成已知极限2336()6()6sin6sin6()fxxxfxxxxxfxxxx而23222000012(6)6sin666cos66(1cos6)2limlimlimlim3633xxxxxxxxxxxxx洛(由于211cos2xx211cos(6)(6)2xx)所以2330006()6sin6sin6()limlimlim36036xxxfxxxxxfxxxx方法2：由极限与无穷小关系，由已知极限式解出3sin6()xxfxax，0lim0xa从而3sin6()xxfxax3sin6()axxfxx33223sin666()6sin6axxfxaxxxxxxx所以323300006()6sin66sin6limlimlimlimxxxxfxaxxxxxaxxx极限的四则运算2220012(6)66cos620limlim3xxxxxx36方法3：将sin6x在0x处按佩亚诺余项泰勒公式展开至3x项：3333(6)sin66()636(),3!xxxxxxx于是3333sin6()6()36()xxfxxxfxxxxx3236()()36,fxxxx从而32330006()sin6()()limlim36lim036036.xxxfxxxfxxxxx(5)【答案】BBorntowin【详解】由特解12,2xxyeyxe，对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道，21r为特征方程的二重根；由33xye可知11r为特征方程的单根，因此特征方程为232(1)(1)10,rrrrr由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为0.yyyy三【详解】方法1：为了求不定积分，首先需要写出()fx的表达