2002考研数二真题及解析

Borntowin2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)设函数tan21,0arcsin()2,0xxexxfxaex在0x处连续，则a.(2)位于曲线(0)xyxex下方，x轴上方的无界图形的面积是_______.(3)微分方程20yyy满足初始条件0011,2xxyy的特解是_________.(4)12lim1cos1cos...1cosnnnnnn_____.(5)矩阵022222222的非零特征值是_________.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数()fu可导，2()yfx当自变量x在1x处取得增量0.1x时，相应的函数增量y的线性主部为0.1，则(1)f=()(A)－1(B)0.1(C)1(D)0.5(2)设函数()fx连续，则下列函数中，必为偶函数的是()(A)20()xftdt(B)20()xftdt(C)0[()()]xtftftdt(D)0[()()]xtftftdt(3)设()yx是二阶常系数微分方程3xypyqye满足初始条(0)(0)0yy的特解，则当0x，函数2ln(1)()xyx的极限()(A)不存在(B)等于1(C)等于2(D)等于3(4)设函数()yfx在(0,)内有界且可导，则()(A)当lim()0xfx时，必有lim()0xfx.Borntowin(B)当lim()xfx存在时，必有lim()0xfx.(C)当0lim()0xfx时，必有0lim()0xfx.(D)当0lim()xfx存在时，必有0lim()0xfx.(5)设向量组123,,线性无关，向量1可由123,,线性表示，而向量2不能由123,,线性表示，则对于任意常数k，必有()(A)123,,,12k线性无关；(B)123,,,12k线性相关；(C)123,,,12k线性无关；(D)123,,,12k线性相关三、(本题满分6分)已知曲线的极坐标方程是1cosr，求该曲线上对应于6处的切线与法线的直角坐标方程.四、(本题满分7分)设2232,102(),01(1)xxxxxfxxexe求函数1()()xFxftdt的表达式.五、(本题满分7分)已知函数()fx在(0,)内可导()0fx，lim()1xfx,且满足110()lim()()hxhfxhxefx,求()fx.六、(本题满分8分)求微分方程(2)0xdyxydx的一个解()yyx,使得由曲线()yyx，与直线1,2xx以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.Borntowin七、(本题满分7分)某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少m(米)？八、(本题满分8分)设1103,(3)(1,2,)nnnxxxxn，证明数列nx的极限存在，并求此极限.九、(本题满分8分)设0ab，证明不等式222lnln1.abaabbaab十、(本题满分8分)设函数()fx在0x的某邻域内具有二阶连续导数，且(0)0,(0)0,ff(0)0.f证明:存在惟一的一组实数123,,，使得当0h时，123()(2)(3)(0)fhfhfhf是比2h高阶的无穷小.十一、(本题满分6分)已知,AB为3阶矩阵，且满足124ABBE,其中E是3阶单位矩阵.(1)证明：矩阵2AE可逆；(2)若120120002B,求矩阵.A十二、(本题满6分)已知4阶方阵1234(,,,),A1234,,,均为4维列向量，其中234,,线性无关，1232.如果1234，求线性方程组Ax的通解.D1m1mCAB1mlhBorntowin2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】-2【详解】如果分段函数()fx连续，则()fx在0点处的左右极限相等，从而确定a的值．当0x时，tan1tanxexx；arcsin22xx，所以有tan00001tanlim()limlimlim2arcsin222xxxxxexxfxxxx==；200lim()lim(0)xxxfxaeaf如果()fx在0x处连续，必有(0)(0)(0),fff即2.a(2)【答案】1【详解】面积000xxxxSxedxxdexeedxlim00xxxxbbxeexeelim11bbbbee其中1limlimlim0bbbbbbbbeee洛．(3)【答案】1yx【详解】方法1：这是属于缺x的(,)yfyy类型．命,dpdpdydpypypdxdydxdy．原方程20yyy化为20dpyppdy，得0p或0dpypdy0p，即0dydx，不满足初始条件1'02yx，弃之；所以0pBorntowin所以，0dpypdy，分离变量得dydpyp，解之得1.Cpy即1.Cdydxy由初始条件11,'002yyxx，可将1C先定出来：1111,212CC．于是得12dydxy解之得，222,yxCyxC．以01xy代入，得21C，所以应取“+”号且21C．于是特解是1yx．方法2：将20yyy改写为()0yy，从而得1yyC．以初始条件1(0)1,(0)2yy代入，有1112C，所以得12yy．即21yy，改写为2()1y．解得2,yxC2yxC．再以初值代入，21C所以应取且21C．于是特解1yx．(4)【答案】22【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限．因为12lim1cos1cos...1cosnnnnnn11lim1cosnniinn11lim()niniifxn其中()1cos,,(1,2,,)ifxxxinn，所以根据定积分的定义，有12lim1cos1cos...1cosnnnnnn0012221coscos2xxdxdx(5)【答案】4Borntowin【详解】记022222222A，则02222222222222222EA(对应元素相减)两边取行列式，EA2222222222230222行行222011222把第行的公因子提出来00122011222行行11111(1)22按第行展开(其中11(1)指数中的1和1分别是所在的行数和列数)2(22)2(4)令0EA，解得1230,4，故4是矩阵的非零特征值．(另一个特征值是0(二重))二、选择题(1)【答案】(D)【详解】在可导条件下，0()xxdyyxoxdx，当00xxdydx时0xxdyxdx称为y的线性主部．而2()2dyxfxxxdx，以1,0.1xx代入得(1)0.2dyxfdx，由题设它等于0．1，于是(1)0.5f，应选(D)．(2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令0()[()()]xFxtftftdt，则0()[()()]xFxtftftdt，令tu，则dtdu，所以00()[()()]()[()()]xxFxtftftdtufufudu0[()()](),xufufuduFxBorntowin所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如()1ftt．故应选(D)．(3)【答案】(C)【详解】由3xypyqye，且(0)(0)0yy，可知(0)1y方法1：因为当20x时，22ln(1)xx，所以20ln(1)lim()xxyx2000222limlimlim2()()()1xxxxxyxyxyx=，故选(C)．方法2：由于(0)(0)0,(0)1yyy．将函数()yx按麦克劳林公式展开22()00()2xyxox，代入2ln(1)()xyx，有222000222ln(1)1limlimlim211()()()22xxxxxoxyxxoxx=．(4)【详解】方法1：排斥法．令21()sinfxxx，则()fx在(0,)有界，2221()sin2cosfxxxx，lim()0xfx，但lim()xfx不存在，故(A)不成立；0lim()0xfx，但0lim()10xfx，(C)和(D)不成立，故选(B)．方法2：证明(B)正确．设lim()xfx存在，记lim()xfxA，证明0A．用反证法，若0A，则对于02A，存在0X，使当xX时，()2AfxA，即3()2222AAAAAfxA由此可知，()fx有界且大于2A．在区间[,]xX上应用拉格朗日中值定理，有()()()()()()2AfxfXfxXfXxX从而lim()xfx，与题设()fx有界矛盾．类似可证当0A时亦有矛盾．故0A．(5)【答案】ABorntowin【详解】方法1：对任意常数k，向量组123,,，12k线性无关．用反证法，若123,,，12k线性相关，因已知123,,线性无关，故12k可由123,,线性表出．即存在常数123,,，使得12112233k又已知1可由123,,线性表出，即存在常数123,,lll，使得1112233lll代入上式，得121122332112233()kklll2111222333()()()klklkl与2不能由123,,线性表出矛盾．故向量组123,,，12k线性无关，选(A)方法2：用排除法B选项：取0k，向量组123,,，12k即123,,，2线性相关不成立，否则因为123,,，2线性相关，又123,,线性无关，故2可由123,,线性表出．即存在常数123,,，使得2112233与已知矛盾，排除(B)．C选项：取0k，向量组123,,，12k，即123,,，1线性无关不成立，因为1