2003考研数二真题及解析

Borntowin2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)若0x时，1)1(412ax与xxsin是等价无穷小，则a=.(2)设函数()yfx由方程4ln2yxxy所确定，则曲线()yfx在点(1,1)处的切线方程是.(3)xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是.(4)设曲线的极坐标方程为)0(aea，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.(5)设为3维列向量，T是的转置.若111111111T，则T=.(6)设三阶方阵,AB满足EBABA2，其中E为三阶单位矩阵，若102020101A，则B.二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有()(A)nnba对任意n成立.(B)nncb对任意n成立.(C)极限nnncalim不存在.(D)极限nnncblim不存在.(2)设dxxxannnnn123101,则极限nnnalim等于()(A)1)1(23e.(B)1)1(231e.(C)1)1(231e.(D)1)1(23e.Borntowin(3)已知xxyln是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为()(A).22xy(B).22xy(C).22yx(D).22yx(4)设函数()fx在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则()fx有()(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.(5)设401tandxxxI,dxxxI402tan,则()(A).121II(B).121II(C).112II(D).112II(6)设向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则()(A)当sr时，向量组II必线性相关.(B)当sr时，向量组II必线性相关.(C)当sr时，向量组I必线性相关.(D)当sr时，向量组I必线性相关.三、(本题满分10分)设函数32ln(1),0arcsin()6,01,0sin4axaxxxxfxxexaxxxx问a为何值时，()fx在0x处连续；a为何值时，0x是()fx的可去间断点？四、(本题满分9分)yxBorntowin设函数()yyx由参数方程212ln112,(1)utxtteyduu所确定，求.922xdxyd五、(本题满分9分)计算不定积分.)1(232arctandxxxex六、(本题满分12分)设函数()yyx)在),(内具有二阶导数，且)(,0yxxy是()yyx的反函数.(1)试将()xxy所满足的微分方程0))(sin(322dydxxydyxd变换为()yyx满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解.七、(本题满分12分)讨论曲线kxyln4与xxy4ln4的交点个数.八、(本题满分12分)设位于第一象限的曲线()yfx过点)21,22(，其上任一点(,)Pxy处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.(1)求曲线()yfx的方程；(2)已知曲线sinyx在],0[上的弧长为l，试用l表示曲线()yfx的弧长s.九、(本题满分10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((yyx绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以min/33m的速率向容器内注入-2O2xyyx=φ(y)Borntowin液体时，液面的面积将以2/minm的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1)根据t时刻液面的面积，写出t与)(y之间的关系式；(2)求曲线)(yx的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、(本题满分10分)设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab内可导，且.0)(xf若极限axaxfax)2(lim存在，证明：(1)在(,)ab内()0fx;(2)在(,)ab内存在点，使)(2)(22fdxxfabba；(3)在(,)ab内存在与(2)中相异的点，使badxxfaabf.)(2))((22十一、(本题满分10分)若矩阵60028022aA相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使.1APP十二、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230laxbyc，2:230lbxcya，3:230lcxayb.试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cbaBorntowin2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】4【详解】当0x时，11(1)1~nxxn，sin~xx，则241241~1)1(axax，2~sinxxx由题设已知，当0x时，124(1)1ax与sinxx是等价无穷小，所以12242001(1)141limlimsin4xxaxaxaxxx，从而4a．(2)【答案】0xy【分析】为了求曲线在点(1,1)处的切线方程，首先需要求出函数在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可．【详解】对所给方程两边对x求导数，将其中的y视为x的函数，有yyxyxy342将1,1xy代入上式，得.1)1(y故函数在点(1,1)处的导数为1，即点(1,1)处切线的斜率为1，再利用点斜式得，过点(1,1)处的切线方程为)1(11xy，即.0yx(3)【答案】!)2(lnnn【详解】()yfx带佩亚诺余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!!nnnfffxffxxxxn求()yfx的麦克劳林公式中nx项的系数相当于先求()yfx在点0x处的n阶导数值)0()(nf，()(0)!nfn就是麦克劳林公式中nx项的系数.2ln2xy；2)2(ln2xy；()2(ln2)nxny(归纳法及求导公式)Borntowin于是有nny)2(ln)0()(，故xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是.!)2(ln!)0()(nnynn(4)【答案】)1(414aea【详解】方法1：用定积分计算.极坐标下平面图形的面积公式：dS)(212，则dedSa20220221)(21=20241aea)1(414aea．方法2：用二重积分计算.D表示该图形所占的区域，在极坐标下，利用二重积分面积公式：Ddd所以22200012aeaDSddrdred=)1(414aea．(5)【答案】3【分析】本题的可由矩阵T的秩为1，把其分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行(或任一非零行)，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成．也可设TA求出，或利用2A或设123[]Txxx，定出等．【详解】方法1：观察得A的三个行向量成比列，其比为1:1:1,故111111111TA=111111，知111，于是.3111111T方法2：TA，2()()(1)TTTTTAA而21111113331111113333(2)111111333AA比较(1)，(2)式，得3T．Borntowin方法3：设123[]Txxx211213221223231323111111111TxxxxxAxxxxxxxxxx故122212321233()Txxxxxxxxx(A的主对角元之和)(6)【答案】21【分析】先化简分解出矩阵B，再计算行列式B或者将已知等式变形成含有因子B的矩阵乘积形式，而其余因子的行列式都可以求出即可．【详解】方法1：由EBABA2，知EABEA)(2，即EABEAEA))((，易知矩阵AE可逆，于是有.)(EBEA再两边取行列式，得1BEA，因为2002010100EA,所以B21．方法2：由EBABA2，得EABEAEA))((等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得AEAEBAE约去0AE，得112BAE．二、选择题(1)【答案】()D【详解】方法1：推理法由题设lim1nnb，假设limnnnbc存在并记为A，则limlimnnnnnnbccAb,这与limnnc矛盾，故假设不成立，limnnnbc不存在．所以选项()D正确．Borntowin方法2：排除法取1nan，1nnbn，满足0limnna,1limnnb,而11111,0,abab，()A不正确；取1nnbn，2ncn，满足1limnnb,nnclim,而1101bc，()B不正确；取1nan，2ncn，满足0limnna,nnclim,而lim1nnnac，()C不正确．(2)【答案】()B【详解】dxxxannnnn123101=)1(12310nnnnxdxn(第一类换元法)=31201(1)nnnxn321111nnnnn可见nnnalim=32lim111nnnn=321(1)1lim1(1)11nnnnn(凑重要极限形式)312(1)1e(重要极限)所以选项()B正确(3)【答案】()A【详解】将xxyln代入微分方程yxyxy，其中2ln1lnxyx，得：)(lnln1ln1ln2xxxx，即21(ln)lnxx令lnxu，有21)(uu，以xuy代入，得)(yx=.22xy故选项()A正确．(4)【答案】()CBorntowin【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零)或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个(导函数与x轴交点的个数)；0x是导数不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x为极大值点．故()fx共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(5)【答案】()B【详解】令()tanxxx，有2(0)0,()sec10,0,4xxx