2004考研数二真题及解析

Borntowin2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)设2(1)()lim1nnxfxnx,则()fx的间断点为x.(2)设函数()yx由参数方程333131xttytt确定,则曲线()yyx向上凸的x取值范围为.(3)121dxxx.(4)设函数(,)zzxy由方程232xzzey确定,则3zzxy.(5)微分方程3()20yxdxxdy满足165xy的特解为.(6)设矩阵210120001A,矩阵B满足2ABABAE,其中A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)把0x时的无穷小量20cosxtdt,20tanxtdt,30sinxtdt排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是()(A),,.(B),,.(C),,.(D),,.(8)设()(1)fxxx,则()(A)0x是()fx的极值点,但(0,0)不是曲线()yfx的拐点.(B)0x不是()fx的极值点,但(0,0)是曲线()yfx的拐点.Borntowin(C)0x是()fx的极值点,且(0,0)是曲线()yfx的拐点.(D)0x不是()fx的极值点,(0,0)也不是曲线()yfx的拐点.(9)22212limln(1)(1)(1)nnnnnn等于()(A)221lnxdx.(B)212lnxdx.(C)212ln(1)xdx.(D)221ln(1)xdx(10)设函数()fx连续,且(0)0f,则存在0,使得()(A)()fx在(0,)内单调增加.(B)()fx在(,0)内单调减小.(C)对任意的(0,)x有()(0)fxf.(D)对任意的(,0)x有()(0)fxf.(11)微分方程21sinyyxx的特解形式可设为()(A)2(sincos)yaxbxcxAxBx.(B)2(sincos)yxaxbxcAxBx.(C)2sinyaxbxcAx.(D)2cosyaxbxcAx(12)设函数()fu连续,区域22(,)2Dxyxyy,则()Dfxydxdy等于()(A)221111()xxdxfxydy.(B)222002()yydyfxydx.(C)2sin200(sincos)dfrdr.(D)2sin200(sincos)dfrrdr(13)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为()Borntowin(A)010100101.(B)010101001.(C)010100011.(D)011100001.(14)设A,B为满足0AB的任意两个非零矩阵,则必有()(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限3012coslim13xxxx.(16)(本题满分10分)设函数()fx在(,)上有定义,在区间[0,2]上,2()(4)fxxx,若对任意的x都满足()(2)fxkfx,其中k为常数.(I)写出()fx在[2,0]上的表达式;(II)问k为何值时,()fx在0x处可导.(17)(本题满分11分)设2()sinxxfxtdt,(I)证明()fx是以为周期的周期函数;(II)求()fx的值域.(18)(本题满分12分)曲线2xxeey与直线0,(0)xxtt及0y围成一曲边梯形.该曲边梯形绕xBorntowin轴旋转一周得一旋转体,其体积为()Vt,侧面积为()St,在xt处的底面积为()Ft.(I)求()()StVt的值;(Ⅱ)计算极限()lim()tStFt.(19)(本题满分12分)设2eabe,证明2224lnln()babae.(20)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700/kmh.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg表示千克,/kmh表示千米/小时)(21)(本题满分10分)设22(,)xyzfxye,其中f具有连续二阶偏导数,求2,,zzzxyxy.(22)(本题满分9分)设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,axxxxxaxxxxxaxxxxxax试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解(23)(本题满分9分)Borntowin设矩阵12314315a的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.Borntowin2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】0.【详解】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出()fx的表达式,再讨论()fx的间断点.由2(1)()lim1nnxfxnx，显然当0x时,()0fx；当0x时,2(1)()lim1nnxfxnx22211(1)lim(1)lim11limnnnxxxnnxxxnn1x,所以()fx0,01,0xxx,因为001lim()lim(0)xxfxfx，故0x为()fx的间断点.(2)【详解】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由()()xxtyyt定义的参数方程求出二阶导数22dydx,再由220dydx确定x的取值范围.323133dytttdt，323133dxtttdt所以2222331331dydydtttdxdxdttt221111tt2211t222221113(1)dyddydtdxdtdxdxtt222413(1)1ttt2343(1)tt,令220dydx(或220dydx)，即23403(1)tt(或23403(1)tt)0t0t或又331xtt，2330xt，所以xt单调增,当0t时，1x，所以当0tBorntowin时01xtx(或当0t时，01xtx)，即(,1)x(或(,1]x)时，曲线凸(3)【答案】2.【详解】利用变量代换法可得所求的广义积分值.方法1：作积分变量变换，令secxt，则2221sec1tanxtt，secsectandxdtttdt，:02t，代入原式：221002sectansecsectan21dxttxtdtdtttxx.方法2：令1xt，则211dxddttt，:10t，代入原式：01120110222111()arcsin21111dxtxdtdttttxxtt.(4)【答案】2.【详解】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.方法1：复合函数求偏导，在232xzzey的两边分别对x,y求偏导,z为,xy的函数.23(23)xzzzexx,23(3)2xzzzeyy,从而2323213xzxzzexe,23213xzzye所以3zzxy2323232231313xzxzxzeee2323132213xzxzee方法2：令23(,,)20xzFxyzeyz，则232xzFex,2Fy,23(3)1xzFez所以2323232322(13)13xzxzxzxzzeeFFxzxee,Borntowin232322(13)13xzxzzFFyzyee,从而3zzxy2323232231313xzxzxzeee2323132213xzxzee方法3：利用全微分公式,得23(23)2xzdzedxdzdy2323223xzxzedxdyedz即2323(13)22xzxzedzedxdy，得232323221313xzxzxzedzdxdyee所以2323213xzxzzexe,23213xzzye从而3zzxy2323232231313xzxzxzeee2323132213xzxzee(5)【答案】315yxx.【详解】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.方法1：原方程变形为21122dyyxdxx,先求齐次方程102dyydxx的通解:分离变量：12dydxyx两边积分得：1lnlnln2yxcycx用常数变易法，设()ycxx为非齐次方程的通解，则1()()2ycxxcxx，代入21122dyyxdxx，得2111()()()222cxxcxcxxxxx，即321()2cxx,积分得352211()25cxxdxxC,Borntowin于是非齐次方程的通解为：53211()55yxxCCxx又由于165xy代入通解，得3161155C1C,故所求特解为315yxx.方法2：原方程变形为21122dyyxdxx,由一阶线性微分方程dyPxyQxdx通解公式：()PxdxPxdxPxdxfxCeeQxedx这里211,22PxQxxx，代入上式得：1122212dxdxxxyexedxC由于方程0x处方程无定义，所以解的存在区间内不能含有点0x.因此解的存在区间要么为0x的某区间，要么为0x的某区间.现在初值给在1x处，所以0x，于是11lnln22212xxyexedxC35221125xxdxCxxC再6(1)15yC,从而特解为315yxx.(6)【答案】91【详解】方法1：已知等式两边同时右乘A，得**2ABAABAAA，由伴随矩阵的运算规律：**AAAAAE，有2ABABAA，而210120001A3321(1)1222113，于是有ABAB63，移项、合并有ABEA)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的