《概率论与数理统计》期末考试试题及解答(DOC)

1一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件BA,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(BPAP，则BA,至少有一个不发生的概率为__________.答案：0.3解：3.0)(BABAP即)(25.0)()()()()()(3.0ABPABPBPABPAPBAPBAP所以1.0)(ABP9.0)(1)()(ABPABPBAP.2．设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP，则)3(XP______.答案：161e解答：eXPeeXPXPXP2)2(,)1()0()1(2由)2(4)1(XPXP知eee22即0122解得1，故161)3(eXP3．设随机变量X在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2XY在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY_________.答案：1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它解答：设Y的分布函数为(),YFyX的分布函数为()XFx，密度为()Xfx则2()()()()()()YXXFyPYyPXyPyXyFyFy因为~(0,2)XU，所以()0XFy，即()()YXFyFy故21,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它另解在(0,2)上函数2yx严格单调，反函数为()hyy所以1,04,14()()20,.YXyyfyfyy其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为的指数分布，2)1(eXP，则_________，}1),{min(YXP=_________.答案：2，-4{min(,)1}1ePXY解答：2(1)1(1)PXPXee，故2{min(,)1}1{min(,)1}PXYPXY1(1)(1)PXPY41e.5．设总体X的概率密度为其它,0,10,)1()(xxxf1.nXXX,,,21是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.答案：1111lnniixn解答：似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nnniniLxxxxx1lnln(1)lnniiLnx1lnln01niidLnxd解似然方程得的极大似然估计为31111lnniixn.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,ABC为三个事件，且,AB相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若()1PC，则AC与BC也独立.（B）若()1PC，则AC与B也独立.（C）若()0PC，则AC与B也独立.（D）若CB，则A与C也独立.（）答案：（D）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图可见A与C不独立.2．设随机变量~(0,1),XNX的分布函数为()x，则(||2)PX的值为（A）2[1(2)].（B）2(2)1.（C）2(2).（D）12(2).（）答案：（A）解答：~(0,1)XN所以(||2)1(||2)1(22)PXPXPX1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]应选（A）.3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立.（B）()DXYDXDY.（C）()DXYDXDY.（D）()DXYDXDY.（）SABC4答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，0yxcov0xy），（()+2covxyDXYDXDY（，）应选（B）.4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183XYP若,XY独立，则,的值为（A）21,99.（A）12,99.（C）11,66（D）51,1818.（）5答案：（A）解答：若,XY独立则有(2,2)(2)(2)PXYPXPY1121()()()393929，19故应选（A）.5．设总体X的数学期望为12,,,,nXXX为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）1X是的无偏估计量.（B）1X是的极大似然估计量.（C）1X是的相合（一致）估计量.（D）1X不是的估计量.（）答案：（A）解答：1EX，所以1X是的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A‘任取一产品，经检验认为是合格品’B‘任取一产品确是合格品’则（1）()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB0.90.950.10.020.857.（2）()0.90.95(|)0.9977()0.857PABPBAPA.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.1231111169183112331112918YX6解：X的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55kkkPXkCk即01232754368125125125125XPX的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.xxFxxxx263,55EX231835525DX.五、（10分）设二维随机变量(,)XY在区域{(,)|0,0,1}Dxyxyxy上服从均匀分布.求（1）(,)XY关于X的边缘概率密度；（2）ZXY的分布函数与概率密度.解：（1）(,)XY的概率密度为2,(,)(,)0,.xyDfxy其它22,01()(,)0,Xxxfxfxydy其它（2）利用公式()(,)Zfzfxzxdx其中2,01,01(,)0,xzxxfxzx其它2,01,1.0,xxz其它.当0z或1z时()0Zfz01z时00()222zzZfzdxxzxzz=x1D01zxyx+y=1x+y=zD17故Z的概率密度为2,01,()0,Zzzfz其它.Z的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1,1.1,1zzZZzzfzfydyydyzzzzz或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1,1.ZDzFzPZzPXYzdxdyzz20,0,,01,1,1.zzzz2,01,()()0,ZZzzfzFz其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从2(0,2)N分布.求（1）命中环形区域22{(,)|12}Dxyxy的概率；（2）命中点到目标中心距离22ZXY的数学期望.解：（1）{,)}(,)DPXYDfxydxdy22222880111248xyrDedxdyerdrd2221122888211()8rrredeee；（2）22222281()8xyEZEXYxyedxdy2222880001184rrrerdrderdrxy01282228880021222rrrreedredr.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)XN，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x，样本方差20.16s.（1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16)1.746,(15)1.753,(15)2.132,ttt2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.解：（1）的置信度为1下的置信区间为/2/2((1),(1))ssXtnXtnnn0.02510,0.4,16,0.05,(15)2.132Xsnt所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）20:0.1H的拒绝域为22(1)n.2215151.6240.1S，20.05(15)24.996因为220.052424.996(15)，所以接受0H.《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分共18分)1．D2．A3．B4．A5．A6．B题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分9一、单项选择题(每题3分共18分)（1）.0)(,0)(;;0)(0)();(().,0)(ABPAP(D)BA(C)BPAP(B)BA(A)ABPBA则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件（2）设随机变量X其概率分布为X-1012P0.20.30.10.4则}5.1{XP（）。(A)0.6(B)1(C)0(D)21（3）设事件1A与2A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（）（A）)()(21AAPAP（B）1)()()(21APAPAP（C）)()(21AAPAP（D）1)()()(21APAPAP（4）).54,0);46,0();3,0();5,0(~,72,),1,2(~),1,3(~(D)N(C)N(B)N(A)ZYXZYXNYNX则令相互独与且设随机变量(N立).(10（5）设nXXX,,2,1为正态总体),(2N的一个简单随机样本，其中,2未知，则（）是一个统计量。(A)212niiX(B)21)(niiX(C)X(D)X（6）设样本nXXX,,,21来自总体22),,(~NX未知。统计假设为。：已知）（：01000HH则所用统计量为（）(A)nXU0(B)nSXT0(C)222)1(Sn(D)niiX1222)(1二、填空题(每空3分共15分)（1）如果)()(,0)(,0)(APBAPBPAP，则)(ABP.（2）设随机变量X的分布函数为.0,)1(1,0,0)(xexxxFx则X的密度函数)(xf，)2(XP.（3）.ˆ,________,ˆ3ˆ2ˆˆ,ˆ,ˆ,ˆ321321是的无偏估计量也时当的无偏估计量是总体分布中参数设aa（4）设总体X和Y相互独立,且都服从)1,0(N，921,,XXX是来自总体X的样本，921,,YYY是来自总体Y的样本，则统计量292191YYXXU服从分布（要求给出自由度）。11二、填空题(每空3分共15分)1.)(BP2.000)(xxxexfx,23e3.14.)9(t三、(6分)设BA,相互独立，7.0)(AP，88.0)(BAP，求