二次函数背景下的线段最值问题

漳州康桥学校九年级吴瑕（2015•漳州卷第25题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）设点P的坐标为（a，0）,当|PD﹣PC|最大时，求a的值并在图中标出点P的位置；322xxy如图，抛物线与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；cbxxy2（2016•漳州卷第24题）学习目标•知识目标：掌握几何中的几个重要定理及二次函数的有关知识，根据问题建构数学模型，解决二次函数背景下的线段和、差等最值问题。•能力目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。•情感目标：通过自己的参与和教师的指导，体会及感悟化归与转化、数形结合、数学建模等数学思想方法，享受学习数学的快乐，提高应用数学的能力。“将军饮马”问题l模型一已知：如图，A（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）,抛物线经过点A、B、C，抛物线的顶点为D．⑴求解析式和抛物线的顶点D；cbxaxy：2设二次函数的解析式为解3c2b-1a：30390300301解得得代入将ccbacba：，，，C，，B，A413222xxxy41,32：2，Dxxy顶点解析式为模型应用模型应用(2)点P在对称轴上，PA+PC取最小值时，求点P的坐标；变式：点P在对称轴上，△PAC周长最小，求点P的坐标；【思维点拨】要使△PAC的周长最小，已知AC为定值，只需求一点P使得PA＋PC最小即可．步骤归纳：1)找对称点2)连线并求直线解析式3)求点坐标P模型二：lABP′在△P‘AB中P’A-P’B＜AB∵PA-PB=AB∴P‘A-P’B＜PA-PB探究二问题：在直线l上，找出一点P，使|PA－PB|的值最大。基本解法：使A、B、P三点共线基本原理：三角形两边之差小于第三边基本思想：转化（化折为直）模型应用(3)点P在对称轴上，|PA－PC|最大，求点P的坐标；分析：第一步，应用模型找到点P的位置；第二步，求直线AC的解析式；第三步，将P点横坐标代入直线BC的解析式求出其纵坐标。变式训练(4)点P在对称轴上，|PA－PC|最小，求点P的坐标；分析：第一步，找点P。要使|PA－PC|最小，只要PA=PC即可，由线段垂直平分线的逆定理可知：点P在线段AC的垂直平分线上，因此线段AC垂直平分线与对称轴的交点即为所求的点P。第二步，解析法或几何法求点P的坐标。变式训练(5)点P在线段BC上，PA取最小值时，求点P的坐标；分析：第一步，找点P，利用直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。第二步，解析法或几何法求点P的坐标。链接中考（2015•漳州）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求a的值并在图中标出点P的位置；322xxy413222xxxy∴C（0，3），D（1，4）0314规范答题不失分解：∵在三角形中两边之差小于第三边，∴延长DC交x轴于点P，设直线DC的解析式为y=kx+b，把D、C两点坐标代入可得，解得，∴直线DC的解析式为y=x+3，将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，如图1，点P（﹣3，0）即为所求（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求a的值并在图中标出点P的位置；探究三(6)点P在第一象限的抛物线上，PQ⊥x轴交BC于Q，求PQ的最大值；分析：第一步，设P点的坐标；第二步，求直线BC的解析式，得Q点坐标；第三步，利用线段与点坐标之间的关系，得线段PQ的函数关系式，最后求出最值。竖直线段水平线段xyxyAByx1，yx2,ABx1-x2AB=AB=y1-y2(纵坐标相减）(横坐标相减）上减下右减左OOyx,1yx,2=y1-y2=x2-x1函数模型链接中考(2016•漳州)如图，抛物线与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；cbxxy2解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线中，得：，解得：∴抛物线的解析式为342xxycbxxy2链接中考（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；∵MN∥y轴，∴点N的坐标为∵抛物线的解析式为∴抛物线的对称轴为∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段解：设点M的坐标为设直线BC的解析式为，把点B（3，0）代入，得：34,2mmm3kxy1k∴直线BC的解析式为3xy3,mm123422xxxy2x492334322mmmmMN∴当时，线段MN取最大值,最大值为．23m49今天我们研究了什么?我们得到了哪些成果?在研究过程中有何体会?研线段最值问题，展其本质学数学知识方法，取其精髓不变应万变学习梳理归纳方法，小结心得1.线段和（或三角形周长）的最值问题：此类问题一般是利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定最短距离2.因动点而产生的线段差的最值问题，数形结合求解：当三点共线时有最值。3.线段长度最值问题：把线段长用二次函数关系式表示出来再求最值（要注意自变量的取值范围）．A组：《连接中考》P224第6题B组：《连接中考》P226第7题C组：《连接中考》P228第5题二次函数高分值，模型框架是本质；线段最值题型多，将军饮马内心知。