数学必修一讲义

第一讲集合集合的有关概念⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。⑵集合中元素的特性：的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义，经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。⑶元素与集合的关系：①如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：Aa②如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：Aa（注意：属于或不属于（,）一定是用在表示元素与集合间的关系上）⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号表示）⑸集合的表示：①集合的表示方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来的表示方法。例：2,1A描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：4xxB（如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N；正整数集记作NN*；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R。（这些特定集合外面不用加）高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些简单集合。例题讲解：夯实基础一、判断下列语句是否正确1）大于5的自然数集可以构成一个集合。正确5xNx2）由1，2，3，2，1构成一个集合，这个集合共有5个元素。错误3）所有的偶数构成的集合是无限集。正确4）集合bacBcbaA,,,,,则集合A和集合B是两个不同的集合。错误二、用符号或填空。1）N__02）Z_____14.33）Q______4）若xxxA22，则A_____25）若0322xxxB，则B_____3三、用适当的方法表示下列集合1）一次函数12xy与421xy的交点组成的集合。517,56517,56517,56区别是什么？2）绝对值等于3的全体实数构成的集合。3,33）大于0的偶数。*,2Nnnxx,...8,6,4,2能力提升1）集合NyxyxyxA,,72,，用列举法表示集合A。,005322xyNxyNN解：当x=1y=3当x=3y=2x=2y=x=4y=x=5y=1{（1,3）,(3,2),(5,1)}2）集合0122xaxxA中只有一个元素，求a的值。21221044a1=0a=1x解：当a=0方程：2x+1=0x=-合题意当a0ax当3）用描述法可将集合,11,9,7,5,3,1表示成________________________。n+1{xxn*}N解：（-1）（2-1）,n知识要点二：集合与集合之间的关系⑴子集①一般地，如果集合A中的任何元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集记作BA（A包含于B）或AB(B包含A)即：对任意BxAx，则BA。显然AA，对于任一集合A，规定A。⑵真子集：如果集合BA，但存在元素AxBx,,我们称集合A是集合B的真子集，记作AØB。集合是任意非空集合的真子集。⑵集合的相等集合,AB如果BA，同时BA，则称AB。⑶严格区分，正确使用“,,,,Ø”等符号。前两个是用在元素与集合的关系上，后三个是用在集合与集合的关系上，一定注意区分。集合关系与其特征性质之间的关系一般地，设,AxpxBxqx，如果BA，则BxAx，2xxxx例：A={3}B=于是x具有性质pxx具有性质qx，即pxqx。B若AB当x3x2当x3x2我们说A一定是的子集。反之，如果pxqx，则A一定是B的子集。集合的运算⑴交集一般地，对于两个给定的集合,AB，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做,AB的交集，记作AB，读作“A交B”由定义容易知道：⑵并集ABBA；AAA；AA；如果,AB则ABA。一般地，对于两个给定的集合,AB，由A，B两个集合的所有元素构成的集合，叫做,AB的并集，记作AB，读作“A并B”由定义容易知道⑶补集全集：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U来表示。补集：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作UAð，读作“A在U中的补集”。高考要求：理解子集、补集、交集、并集的概念。了解全集的意义，了解包含、相等关系得意义，掌握相关的术语、符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。例题讲解：夯实基础一、用适当的符号填空1）2__1,2,32）__,aab3）_____,,aabc4）__05）1,4,7____7,1,46）0,1____N7）2____1xRx二、已知集合2,0,1A，那么A的非空真子集有_________个。20120211,0解：A的非空真子集指的是，除A集合本身与后所有子集含有1个元素的含有2个元素的，，n2n给出计算子集的公式，全部子集个数，表示元素个数。三、求下列四个集合间的关系，并用维恩图表示。UACAxxBxxCxxDxx是平行四边形，是菱形，是矩形，是正方形;ABBAAAA；AAA如果,AB则ABB。解：BA,CA,DA,D=BC四、已知1,2,3,4,,10,21234UAB，4，6，8，10，，，，，求,UUABCACB。24135795678910579UUUUABABAB解：，C，，，，C，，，，，CC，，能力提升一、若集合X满足0121012X，，，，，，则X的个数有几个？0101320110120101232101220112010132102X解：中至少要含有，两个元素。比，多一个元素的有个，，，，，，比，多个人元素的有个，，，，，，，，，比，多个元素的，，，1，二、如右图U是全集，,,MPS是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）.UAMPCS.UBMPCS.CMPS.DMPSuMPCS解：先看如图所示而为图以外部分以上两部分公共区域显然为图中阴影三、已知集合24,21,,5,1,9,9AaaBaaAB，试求实数a。{9}9BA解：对于集合A来讲（1）令2a-1=9a=5A={-4,9,25}B={0,-4,9}AB={-4，9}与已知不符。a=5舍去A2(2)9333{4,5,9}aaaaA令或时，B={-2，-2，9}不符合集合的互异性，a=3舍去AB={9}3{4,4,8,7,9}aAB（3）当a=-3A={-4,-7,9}B={-8,4,9}与相符四、已知集合2210,,AxxpxpxR，且AR，求实数p的取值范围。222(2)x1041104p0-4p0ARp解：若等价于A=或方程x有两个非正根若A=则=（p+2）p21212(2)x100p0p4xxp20pxx10p-4p0p2p0pp（2）方程x有两个非正根或-2或解得综上的取值范围（-4，+）注意：AR的条件之一就是A，这是十分容易遗漏的，另外对2210,,AxxpxpxR的正确理解应是二次方程2210xpx的根组成的集合。那么应该有三种情况：两个不等实根、两个相等实根、无实根。而无实根就是使得A为空集的情况。第二讲函数及其性质知识要点一：函数及其相关概念⑴映射：设,AB是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。记作：:fAB。⑵象与原象：给定一个集合A到集合B的映射，且,aAbB，如果,ab对应那么元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。⑶一一映射：设,AB是两个非空集合，:fAB是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。⑷函数：设集合A是一个非空数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作：,yfxxA这里x叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。⑹区间：定义名称符号xaxb闭区间,abxaxb开区间,abxaxb半开半闭区间,abxaxb半开半闭区间,ab闭区间是包括端点，开区间不包括端点。实数集R可以表示为,，“”读作“无穷大”，例如：“3x”可以表示为3,，“4x”可以表示为,4。高考要求：了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。例题讲解：夯实基础一、判断下列关系哪些是映射。1）,,:AZBZf平方；2）,,:ARBRf平方；3）11,,:AxxBRf求倒数；4）,0,1,:ANBf当n为奇数时，1n；当n为偶数时，0n；5）,ZACZB正奇数，:21,fnmn其中,nAmB；二、已知23,1xfxx求,2ftfx。23()1223272121tfttxxfxxx解：三、求下列函数的定义域。1）2123yxx2）3249yx2230(3)(1)031xxxxxx解：且3）0111xyx1101110x110xxxxxxxx解：0且且四、求函数解析式：1）已知,1)1(2xxxf求)(xf。2）已知569)13(2xxxf，求)(xf。221()11()1()1xfxxfxxxxfxx解：22221313(1)1()96593212254848txtttfxtttttxx解：x====3）已知)(xf是二次函数，且满足,2)()1(,1)0(xxfxff求)(xf。222(0)(0)1(1)(1)2211xbxcafCxbxcxbxcxxbxabbxxab解：设aaa2a2()1fxxx4）若函数)(xf满足方程axRxaxxfxaf,0,,)1()(为常数，且1a，求)(xf。222222211()()(1)1()()(2)a()()aaffxaxxafxafaxxfxaxaaxafxx解：（-1）（-1）注意：求函数的解析式大致有如下几种方法：①拼凑法；②换元法；③待定系数法；④解析法。注意因题型而选择方法。小结：求函数的定义域