模糊集理论及应用概要

1模糊集理论及应用目录模糊集的基本概念模糊集的基本定理2模糊关系与模糊矩阵3模糊聚类4模糊推理及应用51基本概念——经典集合与特征函数2、论域处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。1、经典集合现代数学中一些不同对象的全体称为集合，区别于模糊集合其最基本的属性是：•集合中元素的互异性，即元素彼此相异，范围边界分明•集合中元素的确定性，一个元素x与集合A的关系是，要么x∈A，要么x∉A，二者必居其一经典集合与特征函数3、特征函数设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令1当u∈ACA(u)=0当u∉A则称CA(u)为集合A的特征函数。显然有：A={u|CA(u)=1}经典集合与特征函数解：特征函数如下：1当u=1,3,5CA(u)=0当u=2,4例设有论域：U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，求其特征函数。经典集合与特征函数特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A的隶属度。4、隶属度模糊集合与隶属函数设U是论域，μA是将任何u∈U映射为[0，1]上某个值的函数，即：μA：U→[0，1]u→μA(u)则称μA为定义在U上的一个隶属函数。1、隶属函数2、模糊集设A={μA(u)|u∈U}，则称A为论域U上的一个模糊集。3、隶属度μA(u)称为u对模糊集A的隶属度。模糊集合与隶属函数模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等价的。可以看出对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空集；当全为1时，Ａ就是全集Ｕ；当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。这就是说模糊子集实际是普通子集的推广普通子集就是模糊子集的特例。模糊集合与隶属函数解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。则有：A={0,0.1,0.5,0.8,1}其中：μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8，μA(5)=1例设有论域：U={1,2,3,4,5}，用模糊集表示出模糊概念“大数”。模糊集合与隶属函数解：假设他们的平均成绩分别为：98分，72分，86分，设映射为平均成绩除以100。则有隶属度：μA(张三)=0.98，μA(李四)=0.72，μA(王五)=0.86模糊集A={0.98,0.72,0.86}例设有论域：U={张三，李四，王五}确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。模糊集合与隶属函数μA(ui)/ui表示ui对模糊集A的隶属度。当某个隶属度为0时，可以略去不写。如：A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.5/u4B=1/u1+0.7/u2+0.5/u4它们是相同的模糊集。2、扎德表示法2设论域U是连续的，则其模糊集可用实函数表示。模糊集合的表示方法1、扎德表示法1模糊集合与隶属函数为了建立模糊集A=“青年人”的隶属函数，以及u0=27岁属于模糊集A的隶属度。以年龄作论域U=[0,100]，张楠纶等经过一次较大的模糊统计实验，在武汉某高校进行抽样调查，要求被抽取的大学生独立认真考虑了“青年人”的含义后，给出“青年人”的年龄去见，随机抽取了129人，相应得到了“青年人”的129个年龄区间。为了确定u0=27岁属于模糊集A的隶属度，对u0=27作统计处理。n为样本总数，m为样本区间盖住27的频数，而f=为隶属频率。以n为横坐标，f为纵坐标，绘制图形。隶属函数的确定1、模糊统计法mn模糊集合与隶属函数根据问题的性质，套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。矩形分布、梯形分布、k次抛物分布、T分布、正态分布…偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”、颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，其隶属函数一般形式为1,x≤a,A(x)=f(x),xa.其中，a为常数，而f(x)是非增函数。隶属函数的确定2、指派方法模糊集合与隶属函数偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”、颜色的“弄”等偏向大的一方的模糊现象，其隶属函数一般形式为0,x≤a,A(x)=f(x),xa.其中，a为常数，而f(x)是非减函数。中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和”、“中年”等处于中间状态的模糊现象，其隶属函数可以通过中间型模糊分布表示。3、借用已有尺度在经济管理等社科领域中，可以直接借用已有的尺度“经济指标”作为模糊集的隶属度。比如，在论域U(产品)上定义模糊集A=“质量稳定”，可用产品的“正品率”作为产品属于“质量稳定”的隶属度。模糊集合与隶属函数解：00≤u≤50μ年老(u)＝(1+(5/(u-50))2)-150u≤10010≤u≤25μ年轻(u)＝(1+((u-25)/5)2)-125u≤100例设有人的年龄论域U=[0,100],求其“年老”和“年轻”这两个模糊概念的隶属函数。模糊集合与隶属函数模糊集的运算模糊集的运算它们的隶属函数分别为：μA∪B(u)=max{μA(u),μB(u)}u∈UμA∩B(u)=min{μA(u),μB(u)}u∈UμAc(u)=1-μA(u)模糊集的运算例设U={u1,u2,u3}A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3求：A∩B,A∪B及Ac模糊集的运算解：A∩B=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3=0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3A∪B=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3=0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3Ac=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3=0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3模糊集的基本定理——λ水平截集1、λ水平截集设A∈δ(U)，λ∈[0,1],且Aλ={u|u∈U,μA(u)≥λ}，则称Aλ为A的一个λ水平截集，λ称为阈值或置信水平。λ水平截集性质（1）设A,B∈δ(U)，则有：(A∪B)λ=Aλ∪Bλ(A∩B)λ=Aλ∩Bλ（2）若λ1，λ2∈[0,1],且λ1λ2,则Aλ1Aλ2λ水平截集2、核、支集设A∈δ(U)，且KerA={u|u∈U,μA(u)=1}SuppA={u|u∈U,μA(u)0}，则称KerA为模糊集A的核，SuppA为模糊集A的支集。3、正规模糊集若KerA≠Φ，则称A为正规模糊集。λ水平截集例设有模糊集：A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5且λ分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的λ水平截集、核及支集。λ水平截集解：（1）λ水平截集A1={u3}A0.6={u2,u3,u4}A0.5={u2,u3,u4,u5}A0.3={u1,u2,u3,u4,u5}（2）核、支集KerA={u3}SuppA={u1,u2,u3,u4,u5}模糊数模糊数如果实数域上的模糊集A的隶属函数μA(u)在R上连续，且具有如下性质：（1）A是凸模糊集，即对任意λ∈[0，1]，A的λ水平截集Aλ是闭区间；（2）A是正规模糊集，即存在u∈R，使μA(u)=1则称A为一个模糊数。模糊关系与模糊矩阵——模糊关系直积（笛卡尔乘积）设U与V是两个集合，则称U×V={(u,v)|u∈U,v∈V}为U与V的笛卡尔乘积。模糊关系例设U={红桃，方块，黑桃，梅花}V={A，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J,Q,K}求U×V解：U×V＝{(红桃，A)，（红桃,2），……，（梅花,K）}模糊关系模糊关系相像关系：两者间的“相像”并非非此即彼，而是亦此亦彼，具有程度上的差异，具有程度上差异的关系就是模糊关系。直积U×V的一个模糊子集R成为从U到V的一个模糊关系，记为UVR的论域为U×V。特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。R模糊关系模糊关系的表示R=∫μR(u,v)/(u,v)U×V例X={x1，x2，x3}表示父辈的3个人x1，x2，x3的集合，而Y={y1，y2，y3，y4}为他们子辈的集合，“相像关系”R∈δ（U×V）是一模糊关系，则模糊关系模糊矩阵模糊矩阵设R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵。当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵。当模糊方阵R=(rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵。模糊矩阵模糊矩阵间的关系及并、交、余运算设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，定义相等：A=Baij=bij；包含：ABaij≤bij；并：A∪B=(aij∨bij)m×n；交：A∩B=(aij∧bij)m×n；余：Ac=(1-aij)m×n。0.20.30.10.10.90.7,,00.10.30.20.1,0.20.10.30.2.30.20.20.10.80.9cAABBABA例设，则模糊矩阵模糊的转置定义设A=(aij)m×n,称AT=(aijT)n×m为A的转置矩阵，其中aijT=aji.转置运算的性质：性质1：(AT)T=A；性质2：(A∪B)T=AT∪BT，(A∩B)T=AT∩BT；性质3：(A°B)T=BT°AT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：A≤BAT≤BT。模糊矩阵模糊的λ－截矩阵设A=(aij)m×n,对任意的λ∈[0,1]，称Aλ=(aij(λ))m×n,为模糊矩阵A的λ-截矩阵,其中当aij≥λ时，aij(λ)=1；当aij＜λ时，aij(λ)=0.显然，A的λ-截矩阵为布尔矩阵。1110110010110011,18.03.008.011.02.03.01.015.002.05.013.0AA模糊矩阵模糊矩阵的合成设A=(aik)m×s，B=(bkj)s×n，称模糊矩阵A°B=(cij)m×n，为A与B的合成，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}。模糊方阵的幂定义：若A为n阶方阵，定义A2=A°A，A3=A2°A，…，Ak=Ak-1°A。7.04.03.03.07.04.03.01.07.04.03.03.07.04.03.01.03模糊关系的合成表示模糊关系的传递R1与R2分别是UV与VW上的模糊关系，则U到W的模糊关系为：例μR(u1,w1)={0.40.2,0.50.4,0.10.6}={0.2,0.4,0.1}=0.4μR(u1,w2)={0.40.8,0.50.6,0.10.4}={0.4,0.5,0.1}=0.5WURRwuwvvuRR),/(),(),(21212.03.05.02.06.02.01.05.04.01R4.06.06.04.08.02.02R5.03.06.04.05.04.021RRRZadeh的模糊关系合成法则。设则knnknnkksssssssssR2122221112111mkknkkmmtttttttttR2122221112112knnknnkksssssssssR2122221112111mkknkkmmtttttttttR212222111211212()ijnmRRRr模糊关系的合成模糊关系的合成其中对R1第i行和R2第j列对应元素取最小,再对k个结果取最大,所得结果就是R中第i行第j列处的元素。1()(1,2,,;1,2,,)kijilljlrstinjm模糊聚类模糊等价矩阵若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R