二次函数面积问题及拱桥问题课前测

试卷第1页，总3页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………1．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=﹣，当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度为（）A．3mB．mC．4mD．9m2．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为米．3．已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式；自变量的取值范围．4．如图，把一张长15cm，宽12cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．设剪去的小正方形的边长为xcm．（1）请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积；（2）当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是130cm2？（3）试判断折合而成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？若有，试求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，试说明理由．试卷第2页，总3页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头部的正上方达到最高点M，距地面4米高，球落地为C点．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？6．如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．探究1：如果木板边长为1米，FC=米，则一块木板用墙纸的费用需元；探究2：如果木板边长为2米，正方形EFCG的边长为x米，一块木板需用墙纸的费用为y元，（1）用含x的代数式表示y（写过程）．（2）如果一块木板需用墙纸的费用为225元，求正方形EFCG的边长为多少米？7．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．8．某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：小聪：把它围成一个正方形，这样的面积一定最大小娟：不对啦！面积最大的不是正方形ADBC试卷第3页，总3页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）设AB＝x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；（2）请你判断谁的说法正确，为什么？9．在校阳光运动会比赛中，某同学在投掷实心球时，实心球出手(点A处)的高度是1.4m,出手后的实心球沿一段抛物线运行，当运行到最大高度y=2m时，水平距离x=3m.(1)试求实心球运行高度y与水平距离x之间的函数关系式；(2)设实心球落地点为C，求此次实心球被推出的水平距离OC.10．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总7页参考答案1．D【解析】试题分析：根据题意，把x=6直接代入解析式即可解答．解：由已知AB=12m知：点B的横坐标为6．把x=6代入y=﹣，得y=﹣9．即水面离桥顶的高度为9m．故选D．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．2．26.【解析】试题分析：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=±6，所以水面宽度增加到26米，考点：二次函数的应用．3．S=-3x2+24x．143≤x＜8，【解析】试题解析：由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24-3x）米．这时面积S=x（24-3x）=-3x2+24x．∵0＜24-3x≤10得143≤x＜8，考点：根据实际问题列二次函数关系式．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总7页4．（1）（15﹣2x）（12﹣2x）cm2；（2）当剪去的小正方形的边长为827cm时，长方体盒子的侧面积有最大值28729cm．【解析】试题分析：（1）由图可知：长方体盒子的底面的长和宽分别是原矩形的长和宽减去两个小正方形的边长，根据矩形的面积=长×宽；（2）得出一个关于正方形边长x的方程．从而求解；（2）长方体盒子的侧面积是四个小矩形，都是以正方形的边长为宽，以盒子的底面的长或宽为长，根据这个关系，我们可列出关于侧面积和正方形边长x的函数关系式，然后根据函数的性质来求出这个最值．试题解析：（1）（15﹣2x）（12﹣2x）cm2；（2）依题意得：（15﹣2x）（12﹣2x）=130，即2x2﹣27x+25=0，解得x1=1，2252x（不合题意，舍去），∴当剪去的小正方形的边长为1cm时，其底面积是130cm2；（3）设长方体盒子的侧面积是S，则S=2[（15﹣2x）x+（12﹣2x）x]，即S=54x﹣8x2，S=﹣8（x﹣827）2+8729，（0＜x＜6），当x=827时，8729最大值s，即当剪去的小正方形的边长为827cm时，长方体盒子的侧面积有最大值28729cm．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．5．（1）y=﹣x2+x+1（2）12.8米【解析】试题分析：（1）以O为原点，直线OA为y轴，直线OB为x轴建直角坐标系，得出抛物线的顶点是（6，4），利用顶点式求出解析式即可；（2）利用令y=0，则﹣x2+x+1=0，求出图象与x轴交点坐标即可得出答案．解：（1）以O为原点，直线OA为y轴，直线OB为x轴建直角坐标系．由于抛物线的顶点是（6，4），所以设抛物线的表达式为y=a（x﹣6）2+4，当x=0，y=1时，1=a（0﹣6）2+4，所以a=﹣，所以抛物线解析式为：y=﹣x2+x+1；（2）令y=0，则﹣x2+x+1=0，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总7页解得：x1=6﹣4（舍去），x2=6+4=12.8（米），所以，足球落地点C距守门员约12.8米．【点评】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及一元二次方程的解法等知识，正确建立坐标系得出解析式是解题关键．6．（1）55y=20x2﹣40x+240（2）正方形EFCG的边长为或米【解析】解：探究1：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA=1，∴S正方形ABCD=1，∵四边形EFCG是正方形，∴EF=CF=，∴S正方形EFCG=，BF=，∴S△ABE==∴空白部分的面积为：1﹣﹣=，∴这块木板用墙纸的费用为：+80+40×=55元．故答案为：55．探究2：（1）∵木板边长为2米，∴木板的面积为：4平方米．∵正方形EFCG的边长为x米，∴S正方形EFCG=x2，S△ABE=2﹣x，∴空白的面积为：4﹣x2﹣（2﹣x）=2﹣x2+x，y=60x2+80（2﹣x）+40（2﹣x2+x），y=20x2﹣40x+240．（2）当y=225时，225=20x2﹣40x+240，解得：x1=，x2=∴正方形EFCG的边长为或米．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总7页【点评】本题考查了正方形的性质，平面几何图形的面积公式的计算，抛物线的解析式的求法．7．（1）大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度48千米/小时；（2）应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【解析】试题分析：（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得80200220kbkb，解得：2588kb，∴当20≤x≤220时，v=﹣25x+88，当x=100时，v=﹣25×100+88=48（千米/小时）；（2）由题意，得288405288605xx＞＜，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当0≤x≤20时y=80x，∴k=80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x=20时，y最大=1600；当20≤x≤220时y=（﹣25x+88）x=﹣25（x﹣110）2+4840，∴当x=110时，y最大=4840．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第5页，总7页∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．考点：一次函数的解析式的运用、一元一次不等式组的运用、二次函数的性质8．（1）、BC=56-2x；（2）、小娟的说法正确；理由见解析【解析】试题分析：（1）、BC的长度=围栏的长度-AB和CD的长度+门的宽度；（2）、首先求出S和x的二次函数关系，然后根据二次函数的性质求出S取最大值时x的值，从而得出矩形不是正方形.试题解析：（1）、设AB＝x米，可得BC＝54﹣2x＋2＝56﹣2x；（2）、小娟的说法正确；矩形面积S＝x（56﹣2x）＝﹣2（x﹣14）2＋392，∵56﹣2x＞0，∴x＜28，∴0＜x＜28，∴当x＝14时，S取最大值，此时x56﹣2x，∴面积最大的不是正方形．考点：二次函数的实际应用9．（1）y=-115（x-3）