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1第四章数列与数学归纳法第一节等差数列与等比数列1、等差数列1.1等差数列的基本公式等差数列的通项公式：=+−1 ，(其中：d——公差)等差数列前n项的和： =+−1 =(其中：为前n项的算术平均数)【注】为等差数列，则+=+=+=⋯等差中项公式：2a=+≥21.2等差数列的判断：（1）判断数列为等差数列：定义法：（1）−=常数或（2）−=常数≥2【注】用公式（2）判断时，应注明“n≥2”。等差中项法：2=+(n≥2)（2）判断数列不是等差数列：只需证明存在连续3项，该3项不是等差数列即可。1.3等差数列的常用性质通项公式的推广：=+− 其中:,∈!∗，且nm&为等差数列，若 m+n=p+q 则有 +=)+* 其中：,,+,,∈!∗&为等差数列，等距三项间的关系为：)+)=2 其中：,+,∈!∗,+&为等差数列，-,,.,⋯,构成等差数列——奇数项构成等差数列，公差为2d ,1,2,⋯,构成等差数列——偶数项构成等差数列，公差为2d为等差数列,则+∙也为等差数列，公差为pd 其中：p∈R,为常数&，5 均为等差数列，公差分别为 , 6则+∙+,∙5也为等差数列，公差为p∙ +,∙ 6 其中：p,q∈R,为常数&1.4求等差数列前n项和sn最值的方法（1）求和公式法： =+−1 =7+8−79， 其中：n∈!∗将该公式化成关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值。（2）利用邻项变号的方法当 0，d0时（即为递减数列），满足≥0≤0，则 为最大值。当0，d0时（即为递增数列），满足≤0≥0，则 为最小值。2、等比数列2.1等比数列的基本公式等比数列的通项公式：=∙,（其中：q——公比）等比数列前n项的和sn： =**,,≠1 , ,=1 2【注】求等比数列的sn时，必须分q=1及q≠1两种情况讨论。等比中项公式：=∙≥22.2等比数列的判断（1）判断数列为等比数列的方法：定义法：（1）@=常数≠0或（2）A=常数≠0≥2【注】1）用公式（2）判断时，应注明“n≥2”2）满足=∙,,≠0的数列不一定是等比数列，要使其为等比数列，必须有≠0。等比中项法：=∙≥2（2）判断数列不是等比数列：只需证明存在连续3项，该3项不是等比数列即可。2.3等比数列的常用性质通项公式的推广：=∙, 其中:,∈!∗，且nm&为等比数列，若 m+n=p+q 则有 ∙=)∙* 其中：,,+,,∈!∗&【注】等比数列中，若 ∙=)∙*，不能推出 m+n=p+q，如q=1时，结论不成立。为等比数列，等距三项间的关系为：)∙)= 其中：,+,∈!∗,+&为等比数列，-,,.,⋯,构成等比数列——奇数项构成等比数列，公比为 q ,1,2,⋯,构成等比数列——偶数项构成等比数列，公比为q为等比数列,则+∙也为等比数列，公比为q 其中：+∈B,为常数&为等比数列，则∙=∙=∙=⋯3、等差数列与等比数列的相关计算一般根据已知条件，列方程组，先求出，d，q，再求解。多数情况是根据等差、等比数列的性质求解，应用最多的性质如： m+n=p+q⇒+=)+*,等差∙=)∙*, 等比等距三项间的关系⇒-D+D=2, 等差D∙D=, 等比 -+=+=⋯，等差数列∙=∙=⋯,等比数列 E与间的关系: =E−E 【例1】设数列,5都是等差数列，若+5=7,+5=21,则.+5.=（35）。【解析】根据等差数列的性质，若,5都是等差数列，其公差分别为 , 6，则数列+∙+,∙5（p,q∈R，为常数）为等差数列，公差为p∙ +,∙ 6.【解】设,5的公差分别为 ， 6，∵+5=21，∴+5+2 + 6=21∴ + 6=7则 .+5.=+4 +5+4 6=+5+4 + 6=7+4×7=353【例2】E为等差数列的前n项和，且=1,EK=28.记5=MlgP,其中MQP表示不超过x的最大整数，如M0.99P=0，Mlg99P=1.（1）求5,5,5T（2）求数列5的前1000项和。【解析】本题必须理解5=MlgP的含义——表示不超过“lg”的最大整数。(1)求5=MlgP，应先求出的通项公式。(2)求数列5的前1000项和，对该1000项进行分组，如：当10≤100时，MlgP=1【解】（1）设数列 的公差为d，∵EK=28∴7+×77−1 =28解得：d=1∴=+−1 =5=MlgP=05=MlgP=Mlg11P=15T=Mlg101P=2（2）∵5=MlgP=U0, 1≤101, 10≤1002 , 100≤10003, = 1000∴5的前1000项和为：ETTT=1×100−10+2×1000−100+3=1893【例3】设等差数列的前n项和为E，若E=−2,E=0,E=3,则m=（C）。A.3B.4C.5D.6【解析】本题应利用=E−E 求解【解】根据已知条件，可得=E−E=2=E−E=3∴公差为d=−=1∵E=V=0,∴=−=−2∴E=V@=3∴m=5【例4】已知数列的前n项和为E，=1，≠0，∙=WE−1，其中λ为常数。（1）证明：−=W（2）是否存在λ，使得为等差数列？并说明理由。【解析】（1）要根据∙=WE−1推导出−=W，应利用=E−E,去除E。（2）−=W表明中，-奇数项成等差数列，n为奇数偶数项成等差数列， n为偶数，只要满足−=@X,则为等差数列。【解】（1）∵∙=WE−1∴ ∙=WE−1两式相减，可得−=WE−E=W,∵≠0∴−=W（2）∵∙=WE−1，∴∙=WE−1=W−1∴=W−1∵−=W,∴=W+=W+1设,,成等差数列，则有2W−1=1+W+1，解得：λ=4，则=3中，,,⋯,D,⋯,为等差数列，d=4；,1,⋯,D,⋯,为等差数列，d=4.∵ −=2=7∴为等差数列，=1，d=2。λ=4满足要求。4【例5】在等差数列中，若0,Sn为其前n项之和，且EK=EK，则Sn为最小时，n的值为（12）。【解析】对于等差数列，-d0时（递减数列），若 D≥0, D≤0,则 ED最大d＞0时（递增数列），若D≤0, D≥0,则 ED最小【解】∵ EK=EK∴Y+Z+⋯+2+K=0∵在等差数列中，Y+K=Z+2=⋯=+∴+=0∵0∴0,0∴n=12时，Sn最小。【例6】等差数列的前n项和为E。已知=10，为整数，且E≤E1.（1）求的通项公式。（2）设5=∙@，求数列5的前n项和[。【解析】（1）求通项公式，必须先求出d。根据E≤E1，可知E1 最大，∴必有d＜0，且10.0，据此可确定d的范围。（2） b]=^_∙^_@=^_@^_8^_−^_@9,求数列5的前n项和,应利用错项相加法求解。【解】（1）设公差为d，则=+ ,∵为整数，∴d必为整数。∵E≤E1，∴E1为最大值，∴10.0`10+3 010+4 0解得：−T −.∴d=-3∴=+−1 =13−3（2）b]=^_∙^_@=^_@^_8^_−^_@9=78−@9[=1 ab1−1c+b1−1c+⋯+b1−1c+b1−1cd=1 b1−1c =−13b110−110−3c=1010−3【例7】已知数列是递增的等比数列，+1=9,=8,则数列 的前n项和为（2−1）。【解析】∵是递增的等比数列，∴必有q1。求前n项和，必须先求出，q。【解】根据题意有+,=9,=8解得：=1,=2或-=8,=∵是递增的等比数列，∴q1∴=1,=2∴E=**=2−1【例8】若等比数列的前n项和为E，且efeX=5,则egef=（17）.【解析】本题利用Sn的定义求解较为方便。【解】∵efeX=5，∴X*XX*XX=5,∴1+,=5,=4egef=efhijgef=efXkf*fef=ef*fef=1+,1=175【例9】已知数列满足=1，=3+1（1）证明：`+l是等比数列，并求的通项公式。（2）证明：+X+⋯+【解析】（1）要证明`+l为等比数列，需证明@XX=常数≠0，`+l为等比数列，可以推出+=8+9∙,，从而推出的通项公式。（2）求得 后，可求得，再利用不等式的相关性质证明不等式成立。【解】（1）∵=3+1∴+=3+=38+9∵=1,∴+=@XX=3，∴`+l为等比数列，首项为 ，公比为q=3.+=×3=∴=（2）当n=1时，=1，当n≥2时，3−2×3=31，∴3−12×3∴0×A =A1∴+X+⋯+1++⋯+A=kk=81−9，结论成立。【例10】数列满足=2且对任意的m,n∈!∗，都有@VV=，则=（8）；的前n项和E=（2−2）。【解析】@VV=，则=∙，对任意的m,n∈!∗均成立，令m=1，则有=∙=2∴@=2∴=∙,=2×2=8E=**==2−2【例11】数列是等差