第四讲力矩平衡

有固定转动轴物体的平衡一．力矩：M＝FL1．力臂：（1）转动轴到力的作用线的垂直距离，（2）最大可能值为力的作用点到转动轴的距离。练习：如图所示，直杆OA可绕O点转动，图中虚线与杆平行，杆端A点受四个力F1、F2、F3、F4的作用，力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的力矩分别为M1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小关系是（）（A）M1＝M2＞M3＝M4，（B）M2＞M1＝M3＞M4，（C）M4＞M2＞M3＞M1，（D）M2＞M1＞M3＞M4。O’F2F3F4OF1A’A2．力矩计算的两种常用等效转化方法：（1）将力分解后求力矩，LFFLM＝FLsinF1F2M＝F1L＝FLsinO’F2F3F4OF1A’A练习：如图所示，直杆OA可绕O点转动，图中虚线与杆平行，杆端A点受四个力F1、F2、F3、F4的作用，力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的力矩分别为M1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小关系是（）（A）M1＝M2＞M3＝M4，（B）M2＞M1＝M3＞M4，（C）M4＞M2＞M3＞M1，（D）M2＞M1＞M3＞M4。2．力矩计算的两种常用等效转化方法：（2）重力矩的两种计算方法：aaGGM＝Gsina22．力矩计算的两种常用等效转化方法：（2）重力矩的两种计算方法：aaGG/2G/4M＝Gsina2＋asinG4M＝sina2G23．力矩的方向：力分解法：FF2F1二．平衡与平衡条件：1．平衡状态：静止或匀速转动。2．平衡条件：合外力矩为零。M顺＝M逆三．力矩平衡条件的应用：（1）选取研究对象，（2）受力分析（转动轴上的受力不用分析），（3）对无明显转动轴的物体还要选取转动轴（4）确定力臂、力矩方向，（5）列方程解。解题步骤：CAO30B例1：均匀板重300N，装置如图，AO长4m，OB长8m，人重500N，绳子能承受的最大拉力为200N，求：人能在板上安全行走的范围。8m4m2mCAO30BCAO30B解:G1G2x12mG1x1＝G22G1G22mx2FTG1x2＋G22＝FTsin308x1＝1.2mx2＝0.4m例2：一杆秤如图，杆及钩的总重为G，秤砣重为P，已知秤钩与杆的重心到提纽的距离OA和OG，求：（1）零刻度的位置，（2）证明刻度是均匀的，（3）讨论若秤砣换成2P，某刻度的读数是否为原来的两倍？AGOBDP解：GAOGPCGOG＝POCGAOGPCWBWOA＋GOG＝POB＝POC＋PCBWOA＝PCB解：G2PAOGC’GOG＝2POC’G2PAOGC’WB’WOA＋GOG＝2POB’＝2POC’＋2PC’B’WOA＝2PC’B’C’比C点更左些C’B’为CB的一半解：GOG＝2POC’GPAOGBWOA＋GOG＝2POB’＝2POC’＋2PC’B’WOA＝2PC’B’C’比C点更左些C’B’为CB的一半C’CB’1.如左图匀质直角尺重为2G，C端为水平轴，不计摩擦，当BC部分处于水平静止时，试求加在A端的最小作用力。ACBACBACB解：GL2＋GLGFG＝F2L2G2．均匀杆，每米长重30N，支于杆的左端，在离左端0.2m处挂一重为300N的重物，在杆的右端加一竖直向上的拉力F，杆多长时使杆平衡所需加的拉力F最小，此最小值为多大？F解：FG1G2Fx＝G1x/2＋G2l＝x2/2＋G2lF＝15x＋60/x，因为15x60/x为常数所以15x＝60/x时F有最小值。即x＝2m时Fmin＝60N。3．如图，重为G、边长为a的均匀正方形板与长为2a的轻杆相连，支于轻杆中点，在杆的右端施一竖直向下的力F，使杆水平，求力F的大小，若为使杆与水平方向成30角，力F又应多大？aaaAaGFF甲乙解法一：aaaAaGFF甲乙GG（1.5a＝Facos30，0.5acos30－sin30）解法二：aaaAaGFF甲乙GGcos301.5a＝Facos300.5a＋Gsin30例4:有四根相同的刚性长薄片A、B、C、D，质量均为m，相互交叉成井字形，接触点均在各薄片的中点，放置在一只水平的碗口边（俯视图如图所示），并在D薄片右端的N点放上质量也为m的小物体，那么D薄片中点受到的压力为_____________。CBDNAFNB2L＝FNAL＋mgL2FNB＝FNA＋mgFNBFNAAmgCBDNAFNB2L＝FNAL＋mgL2FNB＝FNA＋mg2FNC＝FNB＋mg2FND＝FNC＋mgFNA2L＝mg2L＋FNDL＋mgLmgFNAFNDmgCBDNA2FNB＝FNA＋mg2FNC＝FNB＋mg16FND＝8FNC＋8mgFNA2L＝mg2L＋FNDL＋mgL2FNA＝FND＋3mg4FNB＝2FNA＋2mg8FNC＝4FNB＋4mg2FND＝FNC＋mg2FNA＝FND＋3mgFND＝17mg/1515FND＝17mgAB四．动态平衡：例：如图所示，一根均匀直棒AB，A端用光滑铰链固定于顶板上，B端搁在一块表面粗糙的水平板上，现设板向上运动而棒AB匀速转动，则木板对棒的弹力说法正确的是（）（A）逐渐变大，（B）先变大后变小，（C）先变小后变大，（D）逐渐变小。GGLG＋FNLf＝FNLNFNFfLsin－LcosFN＝GLsin/21－cot＝G/2练习1：一均匀的直角三直形木板ABC，可绕过C点的水平轴转动，如右图所示。现用一始终沿直角边AB且作用在A点的力F，使BC边慢慢地由水平位置转至竖直位置。在此过程中，力F的大小与α角变化的图线是（）FABCFαO90°FαO90°FαO90°90°FαOABCD解：ABCGFFLF＝GLGG解：ABCFLF＝GLGGFFL＝Gacos(＋)aG练习1：一均匀的直角三形木板ABC，可绕过C点的水平轴转动，如右图所示。现用一始终沿直角边AB且作用在A点的力F，使BC边慢慢地由水平位置转至竖直位置。在此过程中，力F的大小与α角变化的图线是（）FABCFαO90°FαO90°FαO90°90°FαOABCDθABCG2.如图所示，质量为m粗细均匀的均质细杆AB在B点用铰链与墙连接，杆与竖直墙面的夹角为＝37，A端固定一轻质光滑小滑轮，墙上C点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有质量为M的物体G。目前杆AB与物体G都处于静止状态，则杆的质量与物体的质量的比值为m:M＝________；若略微增加物体G的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当________(选填“增大”或“减小”)θ角的大小。（sin37＝0.6，cos37＝0.8）MgMgLsin＋mgLsin/2＝MgLcosmgMg2M(cos－sin)＝msinm:M＝2(cos－sin)/sin＝2(cot－1)＝2:3角改变后上面绳不水平了，上述式子不能用了θABCG2.如图所示，质量为m粗细均匀的均质细杆AB在B点用铰链与墙连接，杆与竖直墙面的夹角为＝37，A端固定一轻质光滑小滑轮，墙上C点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有质量为M的物体G。目前杆AB与物体G都处于静止状态，则杆的质量与物体的质量的比值为m:M＝________；若略微增加物体G的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当________(选填“增大”或“减小”)角的大小。（sin37＝0.6，cos37＝0.8）MgLsin＋mgLsin/2＝MgLcosmgMgG增大时，逆时针力矩增加的多Mg要再平衡必须增大顺时针力矩的力臂而减小逆时针力矩的力臂增大角3．如图所示，一根不均匀的铁棒AB与一辆拖车相连接，连接端B为一固定水平转动轴，拖车在水平面上做匀速直线运动，棒长为L，棒的质量为40kg，它与地面间的动摩擦因数为3/3，棒的重心C距转动轴为2L/3，棒与水平面成30角。运动过程中地面对铁棒的支持力为_______N；若将铁棒B端的固定转动轴向下移一些，其他条件不变，则运动过程中地面对铁棒的支持力将比原来__________（选填“增大”、“不变”或“减小”）。BCA30mgFNFfFNLcos＋FNLsin＝200NFN＝2mg/(1＋tan)mgcos＝32L五．平衡综合问题:解平衡问题的步骤：（1）确定研究对象，（2）受力分析，（3）力的合成分解，（4）选择平衡条件列方程。例1：如图所示，光滑水平面上有一长木板，一均匀杆质量为m，上端铰于O点，下端搁在板上，杆与板间的动摩擦因数为＝1/2，杆与竖直方向成45角，（1）为使板向右匀速运动，向右的水平拉力F应多大？（2）为使板向左匀速运动，向左的水平拉力F应多大？OF解：向右匀速运动时OFGfNfNLcos45＝GLcos45/2＋NLsin45N＝mgF＝Ff＝FN＝mg＝mg/2对杆：对板：解：向左匀速运动时OFGFNfNLcos45＝GLcos45/2－NLsin45N＝mg/3fF＝Ff＝FN＝mg/3＝mg/6对杆：对板：FMOF练习1：如图所示是一种钳子，O是它的转动轴，在其两手柄上分别加大小恒为F、方向相反的两个作用力，使它钳住长方体工件M，工件的重力可忽略不计，钳子对工件的压力大小为FN，当另外用沿虚线方向的力把工件向左拉动时，钳子对工件的压力大小为FN1，而另外用沿虚线方向的力把工件向右拉动时，钳子对工件的压力大小为FN2，则（A）FN1＞FN＞FN2，（B）FN1＜FN＜FN2，（C）FN1＝FN＝FN2，（D）FN1＞FN，FN2＞FN。FNFfFf逆顺逆FMOFOFA练习2：如图所示，重为G的物体A靠在光滑竖直墙上，一端用铰链铰在另一墙上的匀质棒支持物体A，棒重为G’，棒与竖直方向的夹角为，则（）（A）物体A对棒端的弹力、摩擦力的合力方向必沿棒的方向，（B）增大棒重G’，物体A对棒的摩擦力将增大，（C）增大物重G，且棒仍能支持A，则A对棒的摩擦力将增大，而弹力不变，（D）水平向右移动铰链，使角增大，但棒仍能支持A，则A对棒的弹力将增大。GG’FfFfFNFf＝GFNLN＝GLG＋FfLf例2：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放在水平地面上，一根匀质木棒OA长为3R，重为G。木棒的O端与地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢移动。问：（1）当木棒与地面的夹角＝30时，柱体对木棒的弹力多大？FOAGFNRG1.5Rcos＝FNRcot＝3G/4FN＝Gsin23例2：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放在水平地面上，一根匀质木棒OA长为3R，重为G。木棒的O端与地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢移动。问：（2）此时水平推力F多大？FOAFNF＝FNsin＝3G/8＝3G/4＝Gsin223FN＝Gsin23例2：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放在水平地面上，一根匀质木棒OA长为3R，重为G。木棒的O端与地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢移动。问：（3）在柱体向左缓慢移动过程中，柱体对木棒的弹力及水平推力F分别如何变化？FOA增大增大F＝Gsin223FN＝Gsin23练习1：如图所示，均匀板质量为m/2，放在水平地面上，可绕过B端的水平轴自由转动，质量为m的人站在板的正中，通过跨过光滑滑轮的绳子拉板的A端，两边绳子都恰竖直，要使板的A端离地，人对绳的最小拉力为多大？BA解法一：隔离法mgFNFTFTFNmg/2FT＋FN＝mgFTL＝mgL/4＋FNL/2BABA解法二：整体法FTFT3mg/2FTL＋FTL/2＝3mgL/4FT＝mg