模糊集理论概述

模糊集理论概述1.模糊集特征随机性：事物本身含义明确，但条件不明而不可预知。模糊性：事物本身是模糊的。例如：青年、老年；高低；2.集合与特征函数定义：设A是论域U上的一个集合，对于任意u∈U，令则称CA(u)为集合A的特征函数。特征函数CA(u)在u=u0处的取值CA(u0)称为u0对A的隶属度，这个值越接近1，表示隶属度越高。AuAuuCA当当,0,1)(模糊集理论概述3.模糊集的思路：把特征函数的取值范围从{0,1}推广到[0,1]上。设U是论域，μA是把任意u∈U映射为[0,1]上某个值的函数，即μA:U→[0,1]或者u→μA(u)则称μA为定义在U上的一个隶属函数，由μA(u)(u∈U)所构成的集合A称为U上的一个模糊集，μA(u)称为u对A的隶属度。模糊集理论概述例论域U={高山，刘水，秦声}，用模糊集A表示“学习好”这个概念。解：先给出三人的平均成绩：高山：98分，刘水：90分，秦声：86分上述成绩除以100后，就分别得到了各自对“学习好”的隶属度：μA(高山)=0.98,μA(刘水)=0.90,μA(秦声)=0.86则模糊集A为：A={0.98,0.90,0.86}模糊集理论概述4.模糊集表示方法若论域离散且有限，则模糊集A可表示为：A={μA(u1),μA(u2),…,μA(un)}也可写为：A=μA(u1)/u1+μA(u2)/u2+…+μA(un)/un11()/,()/nnAiiAiiiiAuuAuu或者模糊集理论概述也可表示为：A={μA(u1)/u1,μA(u2)/u2,…,μA(un)/un}A={(μA(u1),u1),(μA(u2),u2),…,(μA(un),un)}隶属度为0的元素可以不写。例如：A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4=1/u1+0.7/u2+0.4/u4模糊集理论概述若论域是连续的，则模糊集可用实函数表示。例如：以年龄为论域U=[0,100]，“年轻”和“年老”这两个概念可表示为21211025()25[1()]2510050050()5[1()]5010050uuuuuuuu年轻年老当当当当模糊集理论概述无论论域U有限还是无限，离散还是连续，扎德用如下记号作为模糊集A的一般表示形式:U上的全体模糊集，记为：F(U)={A|μA:U→[0,1]}()/AuUAuu模糊集理论概述5.模糊集的运算模糊集上的运算主要有：包含、交、并、补等等。（1）包含运算设A，B∈F(U)，若对任意u∈U，都有μB(u)≤μA(u)成立，则称A包含B，记为。BA模糊集理论概述（2）交、并、补运算设A，B∈F(U)，以下为扎德算子:()max{(),()}()():()min{(),()}()():()1()ABABABuUABABABuUAAABuuuuuABuuuuuAuu模糊集理论概述例子：设U={u1,u2,u3}，A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3则：A∩B=(0.3∧0.6)/u1+(0.8∧0.4)/u2+(0.6∧0.7)/u3=0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3A∪B=(0.3∨0.6)/u1+(0.8∨0.4)/u2+(0.6∨0.7)/u3=0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3¬A=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3=0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3模糊集理论概述3.其它运算有界和算子和有界积算子概率和算子与实数积算子·)()(,1min:uuuuBABA1-)()(,0min:uuuuBABAˆˆ:()()()():()()ABABABABuuuuABuu模糊集理论概述4.模糊集的水平截集λ水平截集是把模糊集合转化成普通集合的一个重要概念。定义2.16设A∈F(U),λ∈[0,1]，则称普通集合Aλ={u|u∈U,μA(u)≥λ}为A的一个λ水平截集，λ称为阈值或置信水平。模糊集理论概述λ水平截集有如下性质：(1)设A，B∈F(U)，则：(A∪B)λ=Aλ∪Bλ(A∩B)λ=Aλ∩Bλ(2)若λ1,λ2∈[0,1]，且λ1λ2，则：阈值λ越大，其水平截集Aλ越小，当λ＝1时，Aλ最小，称它为模糊集的核。12AA