13.3.1等腰三角形(1)(公开课)

建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?创设情境13.3.1等腰三角形（1）罗河初级中学吴成明创设情境下载图片创设情境等腰三角形你知道什么是等腰三角形吗?ABC等腰三角形:有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰的夹角叫做底角.两腰所夹的角叫做顶角,腰腰底边顶角底角回顾如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去绿色部分,再把它展开,得到的△ABC有什么特点?ABCAB=AC等腰三角形活动（一）：动手操作上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？ABCD把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：重合的线段重合的角等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?AB=ACBD=CDAD=AD∠B=∠C∠ADB=∠ADC∠BAD=∠CAD活动（二）：细心观察大胆猜想等腰△ABC有哪些性质？角:①∠B=∠C②∠BAD=∠CAD③∠ADC=∠ADB=900边:④BD=CD→两个底角相等→AD为顶角∠BAC的平分线→AD为底边BC上的高→AD为底边BC上的中线结论:等腰三角形是轴对称图形；等腰三角形性质性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（可简记为“三线合一”）猜想与论证等腰三角形的两个底角相等。已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C分析：1.如何证明两个角相等？2.如何构造两个全等的三角形？猜想ABCD证明：作顶角的平分线AD.则有∠1＝∠2在△BAD和△CAD中，AB=AC(已知),∠1=∠2(辅助线作法)，AD=AD(公共边),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC12证明：等腰三角形的两个底角相等作顶角的平分线D证明：作底边中线AD则BD=CD在△BAD和△CAD中，AB=AC(已知),BD=CD(辅助线作法)，AD=AD(公共边),∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：等腰三角形的两个底角相等作底边中线证明：作底边高线AD.则有∠ADB＝∠ADC＝90ºAB=AC(已知),AD=AD(公共边),∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：等腰三角形的两个底角相等作底边的高线在Rt△BAD和△RtCAD中，D如图，作△ABC的中线AD.D如图，作△ABC的高AD.D如图，作顶角的平分线AD.ABCABCABC等腰三角形常见辅助线归纳总结等腰三角形的性质等腰三角形的两个底角相等。性质1(等边对等角)ABCD结论符号语言在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C例1在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠B=80°，则∠C=___度，∠A=____度？∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）∵∠B=80°（已知）∴∠C=80°又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和为180°）∴∠A=180°－∠B－∠C∠A=20°BCA练习1.在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠A=50°，则∠B=——度，∠C=——度？CBA∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和为180°）∠A=50°（已知）∴∠B=65°∠C=65°2.等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.3.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________.4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_______.40°35°，35°70°,40°或55°,55°结论:在等腰三角形中,①顶角度数+2×底角度数=180°②0°＜顶角度数＜180°③0°＜底角度数＜90°性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（通常说成等腰三角形的“三线合一”）性质2可分解成下面三个命题来理解：1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。ABCD21∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°∴AD⊥BC（另外两个命题的证明课下自己完成）ABCD12证明：.∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2,在△BAD和△CAD中,AB=AC,∠1=∠2,AD=AD,∴△BAD≌△CAD等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．求证：BD=CD，AD⊥BC．等腰三角形的性质性质2ABCD结论等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（等腰三角形的“三线合一”）符号语言在△ABC中，(1)∵AB=ACAD⊥BC,∴∠=∠,=;(2)∵AB=ACBD=CD，∴⊥，∠=∠；（3∵AB=AC∠BAD=∠CAD∴⊥，=。ABCDBADCADBDCDBADCADADBCADBCBDCD知一线得二线“三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题。建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你现在知道为什么吗?生活中的应用只要铅锤线所在的直线过等腰直角三角板底边的中点，就说明平面是水平的。你知道其中的道理吗？小结归纳1等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）等腰三角形是轴对称图形（底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高所在直线是对称轴）例2、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。1、图中有哪几个等腰三角形？ABCDx⌒2x2x△ABC△ABD△BDC2、有哪些相等的角？∠ABC=∠ACB=∠BDC∠A=∠ABD3、这两组相等的角之间还有什么关系？∠BDC=2∠A∠ABC+∠ACB+∠A=180°例2、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角)设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°x⌒2x2x随堂练习1.在三角形ABC中，AB=AC，且AD⊥BC，已知BD=2cm,求DC=___cm,BC=___cm？CBDA12∵AB=AC,AD⊥BC（已知）∴BD=CD（等腰三角形的高与底边上的中线重合）即（等腰三角形三线合一）∵BD=2cm（已知）∴CD=2cmBC=4cm2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．30°B．150°C．30°或150°D．120°C3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等。请说明理由。AEFBDC解：相等，理由如下：连接AD在△ABC中，∵AB=AC，D为ＢC中点∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF(E)B等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?如图,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.将等腰三角形ABC沿对称轴AD翻折,观察DE与DF的关系.EBEBADCFDE=DF（1）轴对称图形（2）两个底角相等，简称“等边对等角”（3)顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，简称“三线合一”2、本节课学习了数学思想方法:分类讨论、方程思想、转化思想。1、本节主要教学知识是等腰三角形的性质。课后作业:课本P81-82页习题13.3第1、2、4、6题