对勾函数详细分析

1对勾函数的性质及应用一.对勾函数byaxx)0,0(ba的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(xfxf4.图像在一、三象限,当0x时，byaxx2√ab（当且仅当bxa取等号），即)(xf在x=ab时，取最小值ab2由奇函数性质知：当x0时，)(xf在x=ab时，取最大值ab25.单调性：增区间为（,ab），（ab,）,减区间是（0，ab），（ab,0）1、对勾函数的变形形式类型一：函数byaxx)0,0(ba的图像与性质1.定义域：),0()0,(2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限,当x0时，)(xf在x=ab时，取最小值ab2；当0x时，)(xf在x=ab时，取最大值ab25.单调性：增区间为（0，ab），（ab,0）减区间是（,ab），（ab,）,类型二：斜勾函数byaxx)0(ab①0,0ba作图如下1.定义域：),0()0,(2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.2②0,0ba作图如下：1.定义域：),0()0,(2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.类型三：函数)0()(2acxcbxaxxf。此类函数可变形为bxcaxxf)(，可由对勾函数xcaxy上下平移得到练习1.函数xxxxf1)(2的对称中心为类型四：函数)0,0()(kakxaxxf此类函数可变形为kkxakxxf)()(，则)(xf可由对勾函数xaxy左右平移，上下平移得到练习1.作函数21)(xxxf与xxxxf23)(的草图2.求函数421)(xxxf在),2(上的最低点坐标3.求函数1)(xxxxf的单调区间及对称中心类型五：函数)0,0()(2babxaxxf。此类函数定义域为R，且可变形为xbxaxbxaxf2)(a.若0a，图像如下：1．定义域：),(2.值域：]21,21[baba3.奇偶性：奇函数.4.图像在一、三象限.当0x时，)(xf在bx时，取最大值ba2，当x0时，)(xf在x=b时，取最小值ba25.单调性：减区间为（,b），（b,）；增区间是],[bb3练习1.函数1)(2xxxf的在区间2,上的值域为b.若0a，作出函数图像：1．定义域：),(2.值域：]21,21[baba3.奇偶性：奇函数.4.图像在一、三象限.当0x时，)(xf在bx时，取最小值ba2，当x0时，)(xf在x=b时，取最大值ba25.单调性：增区间为（,b），（b,）；减区间是],[bb练习1.如2214xax1,2x，则的取值范围是类型六：函数)0()(2amxcbxaxxf.可变形为)0()()()()(2atsmxtmxamxtmxsmxaxf，则)(xf可由对勾函数xtaxy左右平移，上下平移得到练习1.函数11)(2xxxxf由对勾函数xxy1向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.2.已知1x，求函数1107)(2xxxxf的最小值；3.已知1x，求函数199)(2xxxxf的最大值类型七：函数)0()(2acbxaxmxxf练习1.求函数21)(2xxxxf在区间),1(上的最大值；若区间改为),4[则)(xf的最大值为2.求函数232)(22xxxxxf在区间),0[上的最大值类型八：函数axbxxf)(.此类函数可变形为标准形式：)0()(abaxabaxaxabaxxf练习1.求函数13)(xxxf的最小值；2．求函数15)(xxxf的值域；3.求函数32)(xxxf的值域类型九：函数)0()(22aaxbxxf。此类函数可变形为标准形式：)()()(22222oabaxabaxaxabaxxf4练习1.求函数45)(22xxxf的最小值；2.求函数171)(22xxxf的值域三、关于求函数01xxxy最小值的十种解法1.均值不等式0x，21xxy，当且仅当xx1，即1x的时候不等式取到“=”。当1x的时候，2miny2.法0112yxxxxy若y的最小值存在，则042y必需存在，即2y或2y（舍）找到使2y时，存在相应的x即可。通过观察当1x的时候，2miny3.单调性定义设210xx21212121211111xxxxxxxxxfxf2121211xxxxxx当对于任意的21,xx，只有21,xx1,0时，21xfxf0，此时xf单调递增；当对于任意的21,xx，只有21,xx,1时，21xfxf0，此时xf单调递减。当1x取到最小值，21minfy4.复合函数的单调性2112xxxxyxxt1在,0单调递增，22ty在0,单调递减；在,0单调递增又x1,00,tx,1,0t原函数在1,0上单调递减；在,1上单调递增即当1x取到最小值，21minfy5.求一阶导2'111xyxxy当1,0x时，0'y，函数单调递减；当,1x时，0'y，函数单调递增。当1x取到最小值，21minfy56.三角代换令tanx，2,0，则cot1x2sin2cottan1xxy2,0,02当4，即22时，12sinmax，2miny，显然此时1x7.向量baxxxxy1111，1,1,1,bxxabacosbacos2a根据图象，a为起点在原点，终点在xy10x图象上的一个向量，cosa的几何意义为a在b上的投影，显然当ba时，cosa取得最小值。此时，1x，222miny8．图象相减xxxxy11，即y表示函数xy和xy1两者之间的距离求miny，即为求两曲线竖直距离的最小值平移直线xy，显然当xy与xy1相切时，两曲线竖直距离最小。xy1关于直线xy轴对称，若xy与xy1在1x处有一交点，根据对称性，在10x处也必有一个交点，即此时xy与xy1相交。显然不是距离最小的情况。所以，切点一定为1,1点。此时，1x，2miny9.平面几何依据直角三角形射影定理，设xEBxAE1,，则xxADAB1显然，xx1为菱形的一条边，只用当ADAB，即AD为直线AB和CD之间的距离时，xx1取得最小值。即四边形ABCD为矩形。此时，xx1，即1x，2miny610.对应法则设txfmin2xf221xx,0x，,02x，对应法则也相同txfmin2211222xxxfxxxf左边的最小值右边的最小值122ttt（舍）或2t当2xPx，即1x时取到最小值，且2miny对勾函数练习：1．若x1.求11xxy的最小值.11.若2229ttatt在2,0t上恒成立，则a的取值范围是2.若x1.求1222xxxy的最小值12.求函数111612xxxxxxf的最值。3.若x1.求112xxxy的最小值13.的值域时，求，当142)()10(xxxfx4.若x0.求xxy23的最小值14.的值域求31)(22xxxxxf5.已知函数)),1[(22xxaxxy（1）求的最小值时，求)(21xfa(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)0恒成立,求a范围6.:方程sin2x－asinx+4=0在[0,2]内有解，则a的取值范围是__________7.函数1027yxxx的最小值为____________；函数1027yxxx的最大值为_________。8.函数xxy432的最大值为。9、若14x，则22222xxxy的最值是。10.函数xxy22sin4sin9的最小值是。