第8章非线性控制系统

第八章非线性控制系统分析自动控制原理2第8章非线性控制系统8.1概述8.2非线性系统的特点8.3相平面分析法8.4描述函数分析法自动控制原理38.1概述非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸如非线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形式，不能应用叠加原理，目前还没有统一的且普遍适用的处理方法。自动控制原理41.饱和特性2.死区特性3.间隙特性图8.1饱和非线性特性xy0-bbM-M近似饱和特性实际饱和特性xKyK0-x0b-by图8.2死区非线性特性图8.3间隙非线性特性8.1.1典型非线性特性自动控制原理54.继电器特性图8.4继电器型非线性特性yM0x-M(a)yM0x-M(b)-yM0-M(c)mmyM0x-M(d)x自动控制原理68.1.2非线性系统的运动特点由于描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程，叠加原理不再适用，因此非线性系统的运动表现出以下特点：1.稳定性分析复杂2.自激振荡(极限环)3.频率响应发生畸变自动控制原理71.稳定性分析复杂:线性系统只有一个平衡状态(无外作用且系统输出的各阶导数等于零)，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件无关。对于线性定常系统，稳定性仅取决于特征根在s平面的分布。非线性系统的稳定性：a.与系统的初始状态有关:在不同的初始条件下，运动的最终状态可能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当初始值处于较大区域内时则变为不稳定。b.系统存在多个平衡状态自动控制原理82.非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。例：对于一由非线性微分方程X=-x(1–x)(8-1).描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0和x2=1。将上式改写为自动控制原理9dtxxdx)1(设t＝0时，系统的初态为x0。积分上式可得ttexxextx0001)((8-2)x(t)t1ln00xx10图8－2一阶非线性系统10x01x自动控制原理103.自激振荡(极限环):对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式。在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡。称为自激振荡，简称自振荡。自动控制原理114.频率响应发生畸变•在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。•非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。除了含有与输入同频率的正弦信号分量外，还含有高次谐波分量。自动控制原理12非线性环节的正弦响应y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)自动控制原理138.1.3非线性系统的分析和设计方法由于非线性系统的复杂性和特殊性，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微分方程的解析解，通常采用工程上适用的近似方法。（1）相平面法（2）描述函数法（3）逆系统法自动控制原理141.相平面法:一种图解分析方法，适用于具有严重非线性特性的一阶、二阶系统，该方法通过在相平面绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。2.描述函数法:一种等效线性化的图解分析方法，该方法对于满足结构要求的非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。自动控制原理153.逆系统法:运用内环非线性反馈控制，构造伪线性系统，以此为基础，设计外环控制网络，该方法直接应用数学工具研究非线性控制问题，是非线性系统研究的一个发展方向。但是，这些方法主要是解决非线性系统的“分析”问题，且以稳定性问题为主展开的。非线性系统的“综合”方法的研究成果远不如稳定性问题研究所取得的成果。自动控制原理168.3相平面分析法相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用，该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、斜坡或脉冲信号等)的二阶系统8.3.1相平面的基本概念8.3.2相平面图的绘制方法8.3.3奇点和极限环8.3.4相平面分析举例自动控制原理178.3.1相平面的基本概念考虑二阶线性系统(8-2)式中与是阻尼比和无阻尼自然振荡频率。设系统仅由初始条件激励。这一系统的状态可以用两个变量，和来描述。若令，则方程(8-2)可化为(8-3)(8-4)只要给定初始条件、或、，由这两个一阶联立微分方程便可唯一地确定系统的状态。如此定义的变量和称为相变量(或状态变量)。图8.9(a)绘出了初始条件为，在不同阻尼下的时间响应曲线。nnnxxx220xxxx21,nnxxx22122xx)0(1x)0(2x)0(x)0(x0(0),(0)0xxx自动控制原理18（a）(b)1xx0xx2BCA图8.10相平面图图8.9时间响应与相轨迹自动控制原理19如果以相变量为坐标构成平面，称为相平面，则系统在某一时刻t1的状态就成为相平面上的一个点()。在相平面上，由或以时间为参变量构成的曲线，称为相轨迹。图8.9(b)对应图8.9(a)绘出了相应的相轨迹。相轨迹上的箭头表示时间参量的增大方向。若以一些初始状态作为起始点，在相平面上做出一簇相轨迹，称为系统的相平面图，如图8.10所示。图中用实线表示了二阶线性系统过阻尼时在三种不同初始条件下的相轨迹，其余用虚线表示了在其它初始条件下的相轨迹，它们共同构成一幅相平面图，它清晰地表明系统在各种初始条件下的运动过程。1x2x12(),()xtxt),(21xx),(xx自动控制原理208.3.2相平面图的绘制方法设描述二阶系统的微分方程为(8-5)是线性函数或非线性函数。将式(8-5)化为两个一阶微分方程(8-6)(8-7)用式(8-6)去除式(8-7)，于是得到一个以x为自变量，为因变量，不显含时间t的一阶微分方程(8-8)式(8-8)给出了相轨迹通过点()处的切线斜率。根据此式，用解析法或图解法即可绘出相平面图。,xfxx()xxtdd,xxfxxtd()d,xfxxxxd()dxx,自动控制原理211.相平面图的特点:相平面图的对称性相平面图往往是关于原点或坐标轴对称的，故绘制时可只画其中的一部分，而另一部分可根据对称原理添补上。相平面图的对称性可以从相轨迹的斜率来判断。若相平面图关于轴对称，则相轨迹曲线在和点上的斜率相等，符号相反。由式(8-8)，应有即是关于x的奇函数。若相平面图关于x轴对称，则相轨迹曲线和的斜率相等，符号相反，应有即是关于的偶函数。)(xx,)(-xx,)(-)(或)(-)(xxfxxfxxxfxxxf,,,,,,,,fxxfxxfxxfxxxx()()或()())(xxf,)(xxf,x自动控制原理22若相平面图关于原点对称，则相轨迹曲线在和点上的斜率相等，符号相同，应有即有。,,fxxfxxxx()(-))(xx,,xx(-)),(,xxfxxf)(自动控制原理232.绘制相平面图的解析法自动控制原理24例8-1二阶系统的微分方程为，试绘制系统的相平面图。解系统方程可改写为(8-10)方程(8-10)可用分离变量法进行积分，求得相轨迹方程为(8-11)式中C为常量，由初始条件确定。设初始状态为，则C=。由方程(8-11)可知，系统相轨迹为一组以坐标原点为中心的椭圆轨迹簇，如图8.11所示。图8.11例8-1的相平面图0dd2xxxxxxC22220(,0)x0x)0,(0x0x0xxnxx20自动控制原理25思想：先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从实始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。),(),(),(xxfxxxxfdxxdxxfdxxdxdtdxdxxddtxdx斜率a取不同常数，相平面上得到多条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为a的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。3.绘制相平面图的图解法——等倾线法自动控制原理26例8-2试用等倾线法求下列方程的相平面图。(8-17)解式(8-17)是非线性微分方程,但可分解为两个线性微分方程，(8-18),(8-19)由方程(8-17)可知,而。因此相平面图对称于x轴，只需绘制上半平面的相轨迹,再用对称性确定下半平面的相轨迹。由式(8-18)可得上半平面的等倾线方程：设，求得等倾线如图8.13实线所示，画出等倾线上的平行短线,作为相轨迹线段的近似。适当配置短线并把它们连成曲线即相轨迹曲线，如图8.13中虚线所示。由于图形对称于x轴，所以相轨迹为一组封闭的卵形圆。0xxax||0xaxx0xaxx0x0x,||fxxaxx(),,fxxfxx()()xxa1自动控制原理27在任何非零初始条件下，系统将沿相轨迹作周期运动。图8.13例8-2相平面图xx自动控制原理28相平面图的特点:相平面图上的奇点和普通点相平面上任一点，只要不同时满足和，则由式(8-8)确定的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且仅有一条，这样的点称为普通点。在相平面上，同时满足和的点，由于相轨迹的斜率不是一个确定的值，这样的点称为奇点，显然奇点只分布在相平面的x轴上。)(xx,0x0)(xxf,0x0)(xxf,,fxxxxx()00•经过奇点的相轨迹有多条；而经过普通点的相轨迹只有一条。•在奇点处，系统运动的速度和加速度同时为零，对二阶系统而言，系统不在发生运动，处于平衡状态。自动控制原理29（3）相轨迹通过x轴的斜率在x轴上，所有点都满足。除奇点外相轨迹在x轴上的斜率为所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。（4）相轨迹移动的方向在相平面的上半平面，由于，则x随着参变量时间t的加而增大，所以系统状态沿相轨迹由左向右运动；反之，下半平面，则x随着时间t的增加而减小，所以系统态沿相轨迹由右向左运动。相轨迹上的箭头表示系统状态沿相轨迹的移动方向。0xxxxfxxxf)()(,,0x自动控制原理308.3.3奇点和极限环1.奇点对于二阶系统(8-21)相轨迹的斜率可表示为(8-22)在奇点处，相轨迹的斜率不确定，即同时满足(8-23)如果把相变量x视为位移，于是和可以理解为速度和加速度。在奇点处，由于系统的速度和加速度均为零，因此奇点就是系统的平衡点。,xfxx(),xfxxxxd()d0)(0xxfx,自动控制原理312、线性二阶系统奇点的类型线性二阶系统的齐次微分方程为：相平面图是在平面中，绘制随时间t变化的轨迹，称为相轨迹。相轨迹的起点是。奇点是指的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点有不同名称，据此可判断系统运动的性质。xx,xx))0(),0((xx00dxxd022xxxnn自动控制原理321、无阻尼运动二阶系统的极点分布和相平面图如下无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称为中心点。0)(××λ1λ20jω0xx自动控制原理332、欠阻尼运动系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是向心螺旋线，收敛于原点。奇点称为稳定焦点。1)0(××λ1λ20jωxx自动控制原理343、过阻尼运动系统的自由运动是非周期地趋向于原点。相轨迹是趋于原点的抛物线，原点是奇点，称为稳定节点。1)(××λ1λ20jωxx自动控制原理354、系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是以原点出发的螺旋线，原点处的奇点称为不稳定焦点。0)-1(xxjω××0自动控制原理365、系统的运动是非周期发散运