经济应用数学习题及答案

1经济应用数学习题第一章极限和连续填空题1.sinlimxxx0；2.函数xyln是由uy，vuln，xv复合而成的；3当0x时，1cosx是比x高阶的无穷小量。4.当0x时，若sin2x与ax是等价无穷小量，则a25.2lim(1)xxx2e选择题1.02lim5arcsinxxx（C）（A）0（B）不存在（C）25（D）12.()fx在点0xx处有定义，是()fx在0xx处连续的（A）（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）无关条件计算题1.求极限20cos1lim2xxx解：20cos1lim2xxx＝414sinlim0xxx2.xxx10)41(lim＝41)41(40)41(limexxx3.201limxxexx112lim0xexx导数和微分填空题1若)(xu与)(xv在x处可导，则])()([xvxu=2'')]([)()()()(xvxvxuxvxu2.设)(xf在0x处可导，且Axf)(0，则hhxfhxfh)3()2(lim000用A的2代数式表示为A5；32)(xexf，则xfxfx)1()21(lim0=4e。20(12)(1)'()2,lim2'(1)4xxfxffxxefex解选择题1.设)(xf在点0x处可导，则下列命题中正确的是（A）（A）000()()limxxfxfxxx存在（B）000()()limxxfxfxxx不存在（C）00()()limxxfxfxx存在（D）00()()limxfxfxx不存在2.设)(xf在0x处可导，且0001lim(2)()4xxfxxfx，则0()fx等于（D）（A）4（B）–4（C）2（D）–23.3设()yfx可导，则(2)()fxhfx=（B）（A）()()fxhoh（B）2()()fxhoh（C）()()fxhoh（D）2()()fxhoh4.设(0)0f，且0()limxfxx存在，则0()limxfxx等于（B）（A）()fx（B）(0)f（C）(0)f（D）1(0)2f5.函数)(xfey，则y（D）（A）)(xfe（B）)()(xfexf（C）2)()]('[xfexf（D）)}()]('{[2)(xfxfexf6函数xxxf)1()(的导数为（D）（A）xxx)1(（B）1)1(xx（C）xxxln（D）)]1ln(1[)1(xxxxx37函数xxxf)(在0x处（D）（A）连续但不可导（B）连续且可导（C）极限存在但不连续（D）不连续也不可导计算与应用题1.设ln()yxy确定y是x的函数，求dxdy解：)(1)(1)][ln(''''xyyxyxyxyxyy)1('''yxyyxyyyxy2.2设xyeyln确定y是x的函数，求dxdy解：''ln(ln)yyydyyeyyxxdxxex3.3求13cosxyex的微分解：'131313(3cossin)(3cossin)xxxdyydxexexdxexxdx4.4求2xeyx的微分；解：222'222(21)xxxexeexyxx22(21)xexdydxx5设sin10()20axxexfxxax在(,)上连续，求a的值。00sin1lim()limaxxxxefxx0lim(cos)axxxae…………………………2分1a………………………………………2分又()fx在(,)上连续，即0lim()(0)2xfxfa…………2分21aa1a……………………………………………………1分46设11,01(),0sin,0xxxxfxaxkxxx（其中0)k(1)求()fx在点0x的左、右极限；(2)当a和k取何值时，()fx在点0x连续。（1）00sinlim()limxxkxfxkx…………………2分111210001(1)lim()lim()lim1(1)xxxxxxxxefxexex……2分（2）因为()fx在0x处连续，满足00lim()lim()(0)xxfxfxf…………2分所以2kae……………………1分导数的应用填空题1.设需求函数(83)QpP，P为价格，则需求弹性值2PEQEP22.函数33yxx的单调递减区间是），（－11二．选择题1.函数sinyx在区间[0,π]上满足罗尔定理的ξ=（C）（A）0（B）4（C）2（D）2.函数()yfx在点0xx处取得极大值，则必有（D）（A）0()0fx（B）0()0fx（C）0()0fx且0()0fx（D）0()0fx或不存在5应用题1已知某商品的需求函数为x=125-5p，成本函数为C(x)=100+x+x2,若生产的商品都能全部售出。求：(1)使利润最大时的产量；(2)最大利润时商品需求对价格的弹性及商品的售价。222101251()()()10010051.224100'()2.424010()2.40,10''23(5,10,23,xxLxRxCxpxxxxxxxxLxxxLxxxpxxpxx解（）驻点唯一当时，利润最大。（2）＝当时则＝)11.5102.某工厂生产某种产品吨，所需要的成本()5200Cxx（万元）,将其投放市场后，所得到的总收入为2()100.01Rxxx（万元）。问该产品生产多少吨时，所获得利润最大，最大利润是多少？解：()()()LxRxCx=20.015200xx，'()0.025Lxx令'()0Lx得250x()0.020Lx(250)0L该产品生产250吨时所获利润最大，最大利润是(250)425L（万元）3.已知某产品的需求函数为105QP，成本函数为202CQ，求产量为多少时利润最大？并验证是否符合最大利润原则。解：()()()LQRQCQ2()102025QPQCQQQ'2()85LQQ，令'()0LQ得20Q6又2()05LQ，所以符合最大利润原则。4某商店以单价100元购进一批服装，假设该服装的需求函数为400Qp（p为销售价格）。（12分）(1)求收入函数()RQ，利润函数()LQ；(2)求边际收入函数及边际利润函数；(3)销售价格定为多少时，才能获得最大利润，并求出最大利润。解：(1)400pQ，()(400)RQQpQQ，………………2分()100CQQ，2()()()(400)100300LQRQCQQQQQQ…………2分(2)边际收入函数为'()4002RQQ………………………1分边际利润函数为'()3002LQQ………………………1分(3)令'()30020LQQ，得150Q件。…………………1分因''(150)20L，所以当150Q时，函数取得极大值，……1分因为是唯一的极值点，所以就是最大值点，………………………1分即400400150250pQ元时，可获得最大利润。……………1分最大利润为2(150)30022500LQQ元。…………………2分第五章不定积分填空题1.设sinxex是)(xf的一个原函数，则()fx=xexsin；2.dxxxln1lnlnxC3.若2()fxdxxC，则2(1)xfxdx422xxc；选择题1.设)()(xGxF，则（B）（A）)()(xGxF为常数（B）)()(xGxF为常数7（C）0)()(xGxF（D）dxxGdxddxxFdxd)()(2.已知函数()fx的导数是sinx，则()fx的所有原函数是（B）（A）cosx（B）cosxC（C）sinx（D）sinxC3.若22()xfxdxxeC，则()fx（D）（A）22xxe（B）222xxe（C）2xxe（D）22(1)xxex三计算1.求不定积分3xxedx原式=333111()333xxxxdexeedx33111(3)333xxxeedx=331139xxxeeC2.2.211xdxx解：原式2222111(1)1121xdxdxdxxxx211dxx2ln1arctanxxC3.求11xdxe解：21ln(1)xtext令则原式=2211122211(1)(1)tdtdtdtttttt11()11dtttln1ln1ttC111lnln111xxteCCte4.求lnxxdx解：原式22222111111ln()lnln22224xdxxxxdxxxxCx定积分填空题1.1321sinxxdx=02.30(sin)xttdt3sinxx83.dxxfdxdba)(=04设)(xf在[,]ab上连续，则babadttfdxxf)()(=0521(ln)edxxx16若1cos()txxetdt，则'()xcosxex7若103)(xxdttf，则)7(f112。解32(1)31,27fxxxf1当时，（）＝128102(),-1fxfxxftdtfxx设是连续函数，且则。解设110011(),2222AftdtAxdxAAAA()1fxx选择题1.下列积分可直接使用牛顿─莱不尼兹公式的有（A）（A）53201xdxx（B）1211xdxx（C）43202(5)xdxx（D）11lneedxxx2.设)(xf为连续函数，则()xaftdt为（C）（A）()ft的一个原函数（B）()ft的所有原函数（C）)(xf的一个原函数（D）)(xf的所有原函数3.011()()22xftdtfx，且(0)1f，则()fx（C）（A）2xe（B）12xe（C）2xe（D）212xe94.1211dxx（D）（A）-2（B）2（C）0（D）发散计算1.1.求定积分12201xdxx解：12201xdxx＝110201(1)(arctan)114dxxxx2.求定积分911dxxx解：令xt则2tx3,9,11txtx时当时，当911dxxx33312112122ln(1)2ln21tdtdttttt＝3.51lnedxx解：515111ln(ln)lneexdxxdxxdx15112(ln)(ln)5ln53exxxxxxe4.2211dxx解：2211dxx221lim1bbdxx21lim(1)(1)bbdxxx2111lim()211bbdxxx3ln21]31ln)11[ln(lim21)11ln(lim212bbxxbbb5求函数20()(2)xtfxtedt在(,)内的最大和最小值.解因()fx为偶函数，则只需求()fx在[0，+）内的最值.令222'()2(2)0xfxxxe，则得驻点为2x.且当02x时，'()0fx,当2x时,'()0fx，故2x为()fx在[0，+]的极大值点，也是最大值点，且2222000max