2019秋八年级数学上册第13章全等三角形微专题4巧用等腰三角形的性质与判定习题华东师大版

第13章全等三角形微专题4巧用等腰三角形的性质与判定专题解读等腰三角形性质与判定的运用1.巧算角度2.巧证两条线段相等3.巧用“角平分线＋平行线⇒等腰三角形”4.巧用“角平分线＋垂线⇒等腰三角形”5.判定三角形的形状专题训练类型1利用等腰构建方程求角度1.如图所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，分别向△ABC外作等边△ADB和等边△ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的大小．解：∵△ADB和△ACE是等边三角形，∴∠DAE＝60°＋∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，∠DBC＝60°＋∠ABC.又∵∠DAE＝∠DBC，∴120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，即∠ABC＝60°＋∠BAC.∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°＋∠BAC.设∠BAC＝x，则x＋2(x＋60°)＝180°，解得x＝20°，即△ABC三个内角的大小分别为20°，80°，80°.2.(易错题)已知一个等腰三角形的两角分别为(2x－2)°，(3x－5)°，求这个等腰三角形各角的度数．解：(1)①当(2x－2)°作为顶角时，即(2x－2)＋2×(3x－5)＝180，解得x＝24，三角形三个角的度数分别为：46°，67°，67°；②当(3x－5)°为顶角时，即(3x－5)＋2×(2x－2)＝180，解得x＝27，三角形三个角的度数分别为：52°，52°，76°；③当以上两个角均为底角时，即(2x－2)＝(3x－5)，解得x＝3，三角形三个内角分别为：4°，4°，172°.类型2(构建)全等三角形⇒等腰三角形((构建)等腰三角形⇒全等三角形)3.如图，AB＝AC，M是AB上一点，N是AC延长线上一点且BM＝CN，MN交BC于点D.求证：MD＝ND.证明：过点M作ME∥AN交BC于E，则∠MEB＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠MEB，∴ME＝MB＝CN，由此可证△MED≌△NCD(A.A.S.)，∴MD＝ND.4.如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.证明：在AC上截取AE＝AB，连结DE，易证△ABD≌△AED(S.A.S.)，∴∠AED＝∠B，BD＝ED，∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠EDC＋∠C，∴2∠C＝∠EDC＋∠C，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴AC＝AE＋EC＝AB＋DE＝AB＋BD.类型3利用“角分平、角分垂”条件构建等腰三角形5.如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F，求证：AF＝FB.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC，∵EF∥AC，∴∠FEA＝∠EAC，∴∠FEA＝∠BAE，∴AF＝FE，∵BE⊥AE，∴∠FEA＋∠BEF＝90°，∠BAE＋∠FBE＝90°，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF.6.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上的一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE＝12BD.求证：BD是∠ABC的角平分线．证明：延长AE、BC交于点F.∵AE⊥BE，∴∠BEF＝90°，又∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠DBC＋∠AFC＝∠FAC＋∠AFC＝90°，∴∠DBC＝∠FAC，在△ACF和△BCD中，∠ACF＝∠BCD＝90°，AC＝BC，∠FAC＝∠DBC，∴△ACF≌△BCD(A.S.A.)，∴AF＝BD.又AE＝12BD，∴AE＝EF，即点E是AF的中点．∴AB＝BF，∴BD是∠ABC的角平分线．类型4与判断三角形形状有关的综合问题7.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？解：(1)证明：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形．(2)当α＝150°时，△AOD是直角三角形．∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°.又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°.∴∠ADO＝90°.即△AOD是直角三角形．(3)①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO.∵∠AOD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴190°－α＝α－60°.∴α＝125°.②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.则2(α－60°)＋190°－α＝180°，∴α＝110°.③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，则(190°－α)×2＋α－60°＝180°，∴α＝140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△ABC是等腰三角形．8.(2017·长春模拟)已知△ABC是等边三角形，△AEF是等腰三角形，点B、C在EF上，且∠E＝40°.(1)如果△ABC和△AEF有公共的对称轴AH(如图①)，求∠EAB的度数；(2)固定△ABC，旋转△AEF，使AE与AB在一条直线上(如图②)，EF与BC交于点M，EF与AC交于点N，求∠EMB的度数，并说明△ANF的形状；(3)如果继续转动△AEF，使AE与AH在一条直线上(如图③)，EF与AC交于点D，请判断△ADF的形状，并说明理由．①②③解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠E＝40°，∴∠EAB＝20°；(2)∵AE＝AF，∴∠E＝∠F＝40°.∵AE与AB在一条直线上，∴∠ABC＝∠E＋∠BME＝60°，∴∠EMB＝20°.∵∠ANF＝∠BAC＋∠E＝100°，∴∠NAF＝40°，∴AN＝NF，∴△ANF是等腰三角形；(3)△ADF是等腰三角形，理由如下：∵AE和AH在同一直线上，∴∠EAC＝30°，∴∠ADF＝∠EAC＋∠E＝70°.∵∠F＝∠E＝40°，∴∠FAD＝70°，∴∠FAD＝∠FDA，∴AF＝FD，∴△ADF是等腰三角形．