线段最值问题总结

数学历史名题与中考数学命题（一）——线段最值问题总结【讲座提纲】应群主纪老师的邀请，进行这次的讲座，对于中考数学我其实是外行，因为我主要是教高中数学，初中数学我平时也会偶尔关注一下，对于特等老师们的执着、专业、无私，我是从心里佩服的，他们才是中考数学解题命题专家，他们的讲座给与我很大的启发，学到了很多。但是我这个外行为什么还进行这次讲座呢？一是在群里学到了很多大神的妙招，我也应该为草根群出自己一份力，提供个人的一些浅薄的想法；二是通过这次讲座跟各位老师学习和交流，提高自己的解题水平；三是通过自己的一些想法，抛砖引玉，希望群里其他真正厉害的高手出来为群里老师们进行指导，形成草根群更加浓厚的学术交流氛围。在此特别感谢群主和各位群友在草根群一直对我的指导和帮助，谢谢大家！数学历史名题是各文明古国灿烂文化的结晶，有的是数学大师的伟大数学思想的光辉杰作，有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。我们通过数学名题，学习和欣赏数学大师们的别致、独到的构思，新颖、奇巧的方法和精美、漂亮的结论的基础上，启迪我们的思维、开阔我们探索问题的思路、提高解决问题的能力、丰富我们的解题经验。数学文化现在越来越受到大家的重视，2017年高考考纲正式加入数学文化的内容，中考数学试题中更是很多数学试题是根据数学名题改编或者简化或者直接引用而成，本讲座主要在于探索一些中考几何真题的文化价值和命题背景。本讲座主要涉及的名题背景有“将军饮马问题”、“阿波罗尼斯圆与胡不归问题”将研究其解法和背景，结合中考真题进行讲解分析，期待引起大家对数学名题的关注和研究！线段的最值问题频频出现在各地中考数学试卷上面，这些问题有大家熟知的“将军饮马问题”及其引申，也有近几年非常热火的“胡不归问题”与“阿波罗尼斯圆问题”，很多老师对它们有所了解，但是却缺乏这方面的总结整理，甚至有“知其然不知其所以然”，因此很有必要对它们作一个梳理，这里我尽可能讲清楚这些问题的来龙去脉，历史渊源，归纳其解法，掌握其思想，对中考数学命题背景作一些浅显的探讨，由于本人水平有限，准备时间仓，可能整理得不够完整，甚至出现错误，望各位批评指正，感激不尽！一将军饮马问题：问题起源：亚历山大城有一位精通物理和数学的学者海伦，一天一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题，军官每天从军营出发先到河边饮马，然后再去河的同侧帐篷休息，应该怎么走最省时？海伦利用光学性质很快就得到了解答，我们知道光在同一种介质里面是沿直线传播的，也就是说是沿最短路径行进的，但是当光从一点射出后不是直线射向另一点，而是经过平面镜反射到另一点的时候，光依旧会沿最短的路径进行。你说大自然多么奇妙，这个世界冥冥之中是按数学最优美的次序书写的，让人惊叹！从此“将军饮马”问题广为流传，在我国唐代诗人李欣写有《古从军行》一诗，古从军行白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。野营万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。年年战骨埋荒外，空见蒲萄入汉家。前两句诗句就记录了“将军饮马”的情景。也可以说是中国给这个经典问题的名称的由来吧。【熟悉十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．连AB，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．作B关于l的对称点B＇连AB＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB＇．【问题3】作法图形原理在直线1l、2l上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题4】作法图形原理在直线1l、2l上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．分别作点Q、P关于直线1l、2l的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线m∥n，在m、n，将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥m于M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小．【问题6】作法图形原理在直线l上求两点M、N（M在左），使aMN，并使AM+MN+NB的值最小．将点A向右平移a个长度单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇＇，连A＇＇B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇＇B+MN．【问题7】作法图形原理在1l上求点A，在2l上求点B，使PA+AB值最小．作点P关于1l的对称点P＇，作P＇B⊥2l于B，交2l于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长．【问题8】作法图形原理A为1l上一定点，B为2l上一定点，在2l上求点M，在1l上求点N，使AM+MN+NB的值最小．作点A关于2l的对称点A＇，作点B关于1l的对称点B＇，连A＇B＇交2l于M，交1l于N．两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使PBPA的值最小．连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PBPA＝0．【问题10】作法图形原理作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．PBPA≤AB．在直线l上求一点P，使PBPA的值最大．PBPA的最大值＝AB．【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使PBPA的值最大．作B关于l的对称点B＇作直线AB＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．PBPA≤AB＇．PBPA最大值＝AB＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．将军饮马问题耳熟能详，大家都掌握得非常熟练了，我就仅举一例说明中考的考法，并留几个习题供大家练习例题1：（广州中考题）已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A、(40)B，，抛物线22(0)yaxbxa过点AB、，顶点为C，点(,)(0)Pmnn为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若3,2m当APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移5(0)2tt个单位，点C、P平移后对应的点分别记为''CP、，是否存在t，使得首尾依次连接''ABPC、、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.【分析】：第一问考察了求二函解析式与求顶点，但由于带这分数运算，所以计算并不简单，属于中等难度题目。第二问考察当点P坐标为何时，∠APB为钝角。想钝角需要先从直角思考。所以利用画圆找90°，然后利用相似三角形或勾股逆定理求证三点成90°。再由90°过度到钝角。第二问思维跨度比较大，属于难题。第三问则考察了函数的平移，题型新型，难度很大，背景为“将军饮马问题”。这里主要讲解第三问.解:(1)代入10A,,40B,二次函数:22yaxbx得:0201642abab,解得:1232ab∴抛物线解析式为:213222yxx.对称轴为直线322bxa,代入213222yxx则顶点32528C,.(2)如图所示，设抛物线与y轴交点D，连接AD,BD∵104002A,,B,,D,由勾股定理得:22125AD,224225BD,145AB∴222ADBDAB,∴ABD为直角三角形,90ADB.由图可得：当10m时，APB为钝角.∵抛物线关于轴对称32x对称，∴D的对称点'D的坐标为：32,由图可得：当34m时，APB为钝角.综上所述：当10m或34m时，APB为钝角.（3）线段AB和CP的长是定值，要使四边形ABPC的周长最短，只要ACBP最短。如果将CP向右平移，显然有ACBPACBP，不存在某个位置，使四边形ABPC的周长最短，应将线段CP向左平移。由题知(32)P，，设线段CP向左移了t个单位，则P为(3,2)t，C为325(,)28t，作C关于x轴的对称点C325(,)28t，此时ACAC，再作平行四边形ABBC。5AB，B为1325(,)28t，此时ACBB，连接BP，BP交x轴于M。ACBPBBBPBP，ACBP最小值BP。此时，B在直线BP上，设直线BP的解析式(0)ykxbk，代入BP，得2(3)1513()82ktbktbì-=-+ïïïíï=-+ïïî①②又B在BP上04kb=+③，联立①②③，得1541t=(1)解:依题意把,AB的坐标代入得:2016440abab;解得:1232ab抛物线解析式为213222yxx顶点横坐标322bxa,将32x代入抛物线得2133325()()222228y325(,)28C(2)如图,当90APB时,设200013(,2)22Dxxx,则001,4,EDxDFx20013222BFxx过D作直线lx轴,,AElBFlAEDBFDAEDFEDBF20002000132422131222xxxxxx(注意用整体代入法)解得120,3xx1(0,2)D,2(3,2)D当P在12,ADBD之间时，90APB10m或34m时，APB为钝角.(3)依题意3m，且90APB(3,2)P设,PC移动t（0t向右，to向左）325(3,2),(,)28PtCt连接,,ACPCPB则ABPCCABBPPCCA又,ABPC的长度不变四边形周长最小，只需BPCA最小即可将CA沿x轴向右平移5各单位到BC处P沿x轴对称为P∴当且仅当P、B、C三点共线时，BPCA最小，且最小为PC，此时1325(,)28Ct(3,2)Pt，设过PC的直线为ykxb，代入1325();28(3)2tkbtkb∴412841(3)228ktb即4141(3)22828tyx将(4,0)B代入，得：4141(3)4202828t，解得：1541t∴当，P、C向左移动1541单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。练习：1.（北京中考题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为6,0A，6,0B，0,43C，延长AC到点D,使CD=12AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求