《电磁场理论基础》课后答案

中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   1 / 45  1、矢量分析1-1.（教材1-1）设||，求f。解：f1rr1rrrrr1-2.（教材1-2）设⁄，求f。解：f1rr1rrrrr1-3.（教材1-3）证明。证明：rnrrnrrrnrr1-4.（教材1-4）证明⁄。证明：1r·rr∂∂xxr∂∂yyr∂∂zzrr3xrr3yrr3zr3r3rr01-5.（教材1-5）证明·⁄。证明：·rr1r·r1r·r3rr·r3r3rr·r3r01-6.（教材1-6）证明。证明：f∂f∂xx∂f∂yy∂f∂zzxyz∂∂x∂∂y∂∂z∂f∂x∂f∂y∂f∂zx∂f∂y∂z∂f∂y∂zy∂f∂x∂z∂f∂x∂zz∂f∂x∂y∂f∂x∂y01-7.（教材1-7）证明·。证明：中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   2 / 45  ·A·x∂A∂y∂A∂zy∂A∂x∂A∂zz∂A∂x∂A∂y∂A∂x∂y∂A∂x∂z∂A∂x∂y∂A∂y∂z∂A∂x∂z∂A∂y∂z01-8.（教材1-8）证明···。证明：A·BA·BA·BABA·BBAB·AABA·BBAB·A1-9.（教材1-13）证明⁄⁄证明：fg⁄fg⁄fg⁄f1g⁄1g⁄ffgg⁄1g⁄fgffgg⁄1-10.（教材1-14）（1）证明（2）求，使解（1）fr·f·r···⁄⁄⁄（2）dfdrCrfrCrC1-11.（教材1-15）证明。证明：ffffffffffffff01-12.（教材1-16）证明平面格林定理式可以写成·BdsB·ndℓℓ形式，求出与M，N的关系。解：有B·ndℓMdxNdy，且ndℓdxydyx再考虑·BNM中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   3 / 45  则可令BNxMy1-13.（教材1-17）证明在一般正交曲线坐标系中的展开式f1hhh∂∂uhhh∂f∂u∂∂uhhh∂f∂u∂∂uhhh∂f∂u证明：f1h∂f∂uu1h∂f∂uu1h∂f∂uuf·f1hhh∂∂uhhf∂∂uhhf∂∂uhhf1hhh∂∂uhhh∂f∂u∂∂uhhh∂f∂u∂∂uhhh∂f∂u1-14.（教材1-18）证明·，证明：·r∂∂xx∂∂yy∂∂zz3rxyz∂∂x∂∂y∂∂zxyz01-15.在圆柱坐标系、圆球坐标系中分别计算拉梅系数，并写出梯度、散度、旋度的表达式。解：圆柱坐标系中，xρcosφyρsinφzzhcosφsinφ1hρsinφρcosφρh1Φρ∂Φ∂ρφρ∂Φ∂φz∂Φ∂z·A1ρ∂∂ρρA∂∂φA∂∂zρA1ρ∂∂ρρA1ρ∂∂φA∂∂zAA1ρρρφz∂∂ρ∂∂φ∂∂zAρAA圆球坐标系中，xrsinθcosφyrsinθsinφzrcosθhcosφsinθsinφsinθcosθ1中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   4 / 45  hrcosφcosθrsinφcosθrsinθrhrsinφsinθrcosφsinθrsinθΦr∂Φ∂rθr∂Φ∂θφrsinθ∂Φ∂φ·A1rsinθ∂∂rrsinθA∂∂θrsinθA∂∂φrA1rsinθ∂∂rrsinθA1rsinθ∂∂θsinθA1rsinθ∂∂φAA1rsinθrrθrsinθφ∂∂r∂∂θ∂∂φArArsinθA中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   5 / 45  2、静电场2-1.（教材2-1）如图所示，有两无限大的荷电平面，其面电荷密度分别为和，两平面的间距为d，求空间三个区域内的电场分布。解：取坐标系x轴垂直于两电荷平面，坐标原点位于两平面中心。由高斯定律，得Ex0,|x|d2⁄Exρε⁄x,|x|d2⁄2-2.（教材2-2）一半径为a的圆环，环上均匀分布着线电荷，其线电荷密度为，求圆环轴线上任一点处的电场。解：取直角坐标系，原点位于圆环中心，z轴垂直于圆环面。显然轴线上电场方向为垂直于圆环面，远离圆环。Eρℓ4πεrzrdℓρℓz4πεzaadθρℓaz2εza2-3.（教材2-3）半径为a的均匀带电半球的体电荷密度为，试计算底面边缘上任一点的电位与电场。（提示，建立极坐标系）解：以待求点为原点建立极坐标系，电位为ρcosθρsinθa2aρsinθcosφaρ2asinθcosφΦρrsinθ4πεrdrdθdφρ4πε2asinθcosφdθdφρa4εsinθdθρa6εE1243πaρ4πεaxρa6εxsds中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   6 / 45  Eyρrsinθ4πεrrcosθrdrdθdφρ4πεy2asinθcosθcosφdθdφρaπεysinθcosθdθρa3πεy2-4.（教材2-4）设点电荷与相距为d。试证明在此带电系统中，有一个半径有限的球形等位面，并求出它的半径、球心位置以及此等位面的电位值（电位参考点为无限远处）。证明：取球坐标，设q1位于(a,0,0)，q2位于(a+d,0,0)处，空间中电位分布为：Φ14πεqRqR＝14πεq√ra2arcosαqrad2adrcosα14πεqrad2adrcosαq√ra2arcosα√ra2arcosαrad2adrcosα当raad时，rad2adrcosα√ra2arcosαadaΦ14πεqadaqadaaada2aaadcosα当qq0时，Φ0即：圆心位置：ad半径：rddd电位为零2-5.（教材2-6）在边长为a的正方形的四角顶点分别放置电量为q的点电荷，在正方形的几何中心处放置电量为Q的点电荷。问Q为何值时，每个电荷所受的力都是零。解：由对称性可知，无论Q为多少，Q的受力都是零。q4πεa√2q4πε2aQ4πε12a0中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   7 / 45  Qq√22142-6.（教材2-7）求半径为a、电量为Q的均匀带电球面所产生的电位、电场强度和该系统的总储能。解：Er0ErQ4πεrUrQ4πεrUraQ4πεaW12QUraQ8πεa2-7.（教材2-10）一个电量为的点电荷与半径为a、电量为的均匀带电球体相距为d（da），试求它们的相互作用能。解：带电球体的dv体积内电荷与q1电荷的相互作用能为dwqρdv4πεRqρrsinθdrdθdφ4πε√dr2drcosθ（这里取球坐标，坐标原点位于带电球中心，q1电荷位于r=d,=0处）则Wdwqρ4πεqρrsinθ4πε√dr2drcosθdφdθdrqρ2εrsinθ√dr2drcosθdθdrqρ2εr√dr2drtdtdrqρ2εrddr2drdr2drtdrqρ2εd2tdrqρ3εdadq3εdad3q4πaqq4πεd可见，这里可以将带电球体上的电荷分布视为一个点电荷处理。2-8.（教材2-11）证明：如果一个点电荷q在一个半径为a的球面内（球外无电荷），则q在球面上所产生的电位平均值证明：设点电荷q距离圆心为d，则无穷远处的电位为中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   8 / 45  q4πεdq4πεd14π1R∂Φ∂nΦ∂∂n1Rdsq4πεd14π1RΦ·nΦ1Rdsq4πεd14πaΦ·nds14πaΦdsq4πεd14πa·Φdv14πaΦdsq4πεd14πa·Edv14πaΦdsq4πεdq4πεaΦ即Φq4πεa2-9.（教材2-12）求下图所示的电荷分布所产生的偶极矩和四极矩[Q]。解：P2q2ℓyqaxqax2qax4qℓyQ3aaq3aaq4ℓ2q8qℓQaqaq3·4ℓ4ℓ2q16qℓQaqaq4ℓ2q8qℓQQQQQQ02-10.（教材2-15）以下列出三种电场分布，求包含在各体积内的总电荷。（1）半径为R的球，（2）半径为a，长度为L的圆柱，（3）一顶点位于原点，边长为a的立方体，其中A是常数解：（1）QεE·dsRεAR4πR4πεAR(2)QεAa2πaL2πεAaL(3)QεAaaAaa2εAa2-11.（教材2-17）一个半径为a，中心在原点的球形带电体，已知其电位分布为-qq2qoaa2ℓxy中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   9 / 45  求此位场的储能。解：EΦ0raΦarrrWε2|E|dvε2Φar4πrdr2πεΦa1rdr2πεΦa2-12.（教材2-18）求由三个同心导体球构成的导体系的电位系数，其中内球半径为a，中球内外半径为b和c，外球内外半径为d和e。解：P14πε1a1b1c1d1e1c1d1e1e1c1d1e1c1d1e1e1e1e1e2-13.（教材2-19）一个半径为a的导体球壳充满密度为的电荷，已知电场分布为求球内的电荷密度及球壳内外侧面上的面电荷密度。解：ρrε·Eε·ArrεA3rr·rr·36εAr球壳内无电场4πaρ内ρrdr6εA4πrdr4πεAaρ内εAaρ外ε4πaAa4πaεAa2-14.（教材2-20）一个球形电容器，内球半径为a，外球半径为b，内外球之间电位差为（外球接地），求两球间的电位分布及电容量C。解：设内球带电量Q，外球带电量-Q，则两球间电场为EQ4πrεr则中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   10 / 45  UE·drQ4πε1a1bQ4πεU1a1bEU1a1brrΦU1a1brdrU1r1b1a1bCQU4πε1a1b2-15.（教材2-22）给定一电荷分布为ρρcosπaxaxa0|x|试求空间各区域的电位分布。解：取x∞为电位零点在x位置取厚度为dx的薄层，由对称性，根据高斯定理易求得它在两侧产生的电场大小为，方向沿x轴指向两侧则|x|区域的电场为Eρs2εdxρ2εcosπaxdx0Φ0|x|区域的电场为Exρs2εdxxρs2εdxxρ2εcosπaxdxcosπaxdxxρ2εaπsinπaxsinπaxxρaπεsinπaxΦE·dxρaπεsinπaxdxρaπεaπcosπax1ρaπεcosπax12-16.（教材2-24）一个金属球半径为a，位于两种不同媒质的分界面上，导体球电位为，求上、下半空间中任意点处的电位。解：oaε0εΦ0中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   11 / 45  设导体球所带自由电荷为Q，则εE2πrεE2πrQEQ2πrεεΦEdrQ2πrεεdrQ2πaεεQ2πaεεΦEaΦrΦrEdraΦrdraΦr2-17.（教材2-26）一个球形电容器，内外半径分别为a与b，内充非均匀介质⁄，试求其电容量C。解：设内球电量为Q，则εE·4πrQEQ4πrεQ4πaε取外球电位为零，则内球电位为UEdrQ4πaεdrQba4πaε则电容为CQU4πaεba2-18.（教材2-27）一个平板电容器的长、宽为a与b，极板间距离为d，其中一半（0～a/2）用介电常数为ε的介质充填，另一半为空气。极板间加电压，求极板上自由电荷密度与介质表面上极化电荷密度。解：设介质为I区，空气为II区电场EIEIIUDIεUd，DIIεUdρIDIεUd，ρIIDIIεUdρIεEIρIεεUdρIεUd，ρIIεUd，ρIεεUd2-19.（教材2-28）两个同轴圆筒之间，部分充填了介电常数为ε的介质，其余部分为空气，求它单位长度的电容量。中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论   12 / 45  解：EQε2πθεθ1rUEdrQε2πθεθlnbaCQUε2πθεθlnba2-20.（教材2-30）一对平行金属板，间距为d，极板间加电压，插入一液体中（液体的密度为g，介电常数为ε），求极板间液面上升的高度h。解：W12UQ12UεEay12dUεay其中a是平行金属板垂直于纸面方向的宽度，y是平行金属板平行于纸面方向的高度W12dUεaℓy12dUεaℓy12dUεaℓ12dUεεayf∂W∂y12dUεεa12dUεεagahdh12gUdεε2-21.（教材2-31）一个半径为a的介质球沿径向被永久极化，极化强度，其中α，dhabo1中国科学技术大