电磁期末复习题

一证明题已知无限长均匀带电细棒的电荷密度为，试证明空间中任意一点的电场强度大小为02Er，其中r为该点到带电细棒的垂直距离。证：已知电荷分布在无限长均匀带电直线上，可知电场分布具有轴对称性，即垂直带电直线，故选取高为l,半径为r高斯圆柱面。根据高斯定理0SqEdS内由反演对称性可知只有圆柱侧面有电通量，则02SlEdSErl02Er2均匀带电的半球半径为R，电荷体密度为常量，试证明球心处的电场强度大小为04RE。（设介电常数均可近似为o）证明：如图，取一半径为r的圆环电荷元，设电荷面密度为，则dsinr2dq2s可得均匀带电的半球面电荷在圆心处的电场强度0200s4dcossin2σE取一半球面电荷元，其电荷面密度dr，04drρdE故R004drE，即04REr3圆柱形电容器是由半径分别为AR和BR的两同轴圆柱导体面A和B构成，且圆柱的长度l比半径BR大得多，两圆柱面之间充满相对电容率为r的各向同性电介质。证明该电容器的电容大小为02=lnrBAlQCRUR。证：因为BlR，所以可把A、B两圆柱面间的电场看成是无限长圆柱面的电场.设内、外圆柱面之间各带有Q和Q的电荷，则单位长度上的电荷Ql.由高斯定理可求出距两圆柱面之间的轴线为r的点P处的电场强度E的大小为00122rrQErlrE的方向垂直于圆柱轴线.于是，两圆柱面间的电势差为00ln22BARBlRrrARQdrQUEdllrlR02=lnrBAlQCRUR4一种直流电桥电路，G是内阻为gR的检流计，电源的电动势为，内阻忽略不计。证明当电桥平衡(检流计中无电流通过，即0gI)时，1R、2R、3R和4R之间的关系为1423RRRR。证明：电路中有四个节点，列出三个独立的节点电流方程式12:0AIII节点13:0gBIII节点24:0gDIII节点回路电压方程式为11221:0ggIRIRIR回路33442:0ggIRIRIR回路22443:IRIR回路当Ig=0时，可求得电桥的平衡条件R1R4=R2R3。5证明：平行无限长直导线间单位长度上的相互作用力的大小为0122IIfa，其中12,II为导线中的电流，a为导线间的垂直距离。电流I1产生的磁场为r2IB10I2受到的安培力aIdlIdF2102I2单位长度受到的安培力aIIdldFf22106证明：应用0LldE证明静电场的电场线不能闭合。证明：设静电场的电场线可以闭合，则沿着电场线对电场强度进行积分，由于电场线上每一点的切线方向与E方向相同，所以线上各小元段dl和E的夹角2，0Edl，故0LldE，这0LldE与相矛盾，所以电场线不能闭合。二、计算题1.如图所示，一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为σ，试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势。（选O点的电势为零）解:距O点为r处取同心圆环，宽度为dr，带电量2dqrdr均匀带电圆环中心轴线上场强分布：223/2014()dqxdEiRx带圆孔的无限大平面中心轴线上的场强：223/2221/20014()2()RdqxxE=dEiiRxRx由电势定义：00221/202()xxxu=EdldxRx220()2=RRx2.将半径为R的圆片上均匀带电，面密度为σ，当该圆片绕轴以匀角速ω旋转时，求轴线上距离圆片中心为x处的磁感应强度。解:在半径为r的径向长度为dr带电细环上有：rdrdS2，rdrdSdq2rdrdqdI2根据环形电流公式有：2/32220)(2rxdIrdB2/32230)(21rxdrr所以B=rdrrxxrxR02/3222220))(1(21=0)(21222220Rrxxrx=)22(2122220xRxRx，方向向右drOxPBdxRORx3.如图所示，三个电源电动势及内阻分别为11=20,1Vr，22=18,1Vr，33=7,1Vr；电路中电阻值分别为1=6R,2=4R,3=2R.求各支路电流？（根据基尔霍夫定律，请标出回路绕行方向）解：根据基尔霍夫第一定律得节点A方程为3120III根据基尔霍夫第二定律得回路I方程12111222()()IRrIRr回路II方程23222333()()IRrIRr解得:123112IAIAIA4.载有电流的I长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度v平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压UMUN。解：动生电动势()dNeMMNvBl为计算简单，可以引入一条辅助线MN，构成闭合回路MNeM，闭合回路总电动势0MeNMN总I3I1R1R2R3I2II3I1R1R2R3I2IIMeNNMMN00()ddln22abMNMNabIIvabvBlvxxab负号表示MN的方向与x轴相反0ln2MNIvababNM方向0ln2MNMNIvabUUab5.一个细而薄的圆柱壳体长为l，半径为a，面电荷密度为σ。今圆柱壳以匀角加速度β绕中心轴转动，若不计边缘效应，试求：(1)圆柱壳内的磁场；(2)圆柱壳内的电场；(3)圆柱壳内的磁能与电能。（1）圆柱内的磁场可按长直螺线管计算，即nIB0，则taB0（2）圆柱壳内的电场由电磁感应定律可得StBlEdd（3）圆柱壳内的磁能圆柱壳内的电能6.半径为R、电荷为0q的金属球埋在介电常量为的均匀无限大电介质中，求电介质内场强E及电介质与金属交界面上的极化电荷面密度。解：已知电荷分布具有球对称性，根据有介质时的高斯定理得204rrrSSSDdSDdSDdSDrq002244rrqqDDerr或者024rqEer交界面上一点B的极化电荷面密度为，设该点的法向单位矢量ne为电介质指向金属，已知21()nPPe则0000022()()44nnqqPBeEBeRR7.在地面附近的大气里，由于土壤的放射性和宇宙线的作用，平均每1cm3的大气里约有5对离子。离子的漂移速度正比于场强，比例系数称为“迁移率”，已知大气中正离子的迁移率为1.37×10-4m2/(s.V)，负离子的迁移率为1.91×10-4m2/(s.V)，正负离子多带电量的数值都是1.6×10-19C，求地面大气的电导率σ。解：设正负离子的平均速率分别为u和u电流密度的值Ei)(β210arraE2242022222002β21β21d2ltalataVBWmrrralVEeWadπ22β2d2102002016β622200laeW和)(uunei则)()(neEuEunei即419610)91.137.1(1060.1105)(102.621-16mS8.半径为R的磁介质球沿一直径均匀磁化，即磁化强度M为常矢量。试求(1)球面上束缚电流密度的分布；(2)球心处的磁感应强度的大小和方向；(3)球心处的磁场强度的大小和方向。解：置x轴沿M方向，在球面上取圆环，如图（1)束缚电流密度iMn其大小siniM（2)圆环的电流强度dsindIMR其在圆心处的磁感应强度203222dd2()rIBrx即30dsind2BM方向同M所以30002sind23BMM或023BM（3)磁场强度02133BHMMMM9.如图所示,正电荷Q均匀分布在半径为R的圆环上，计算在环的轴线上任一点P处的电场强度。如存在电场强度极大值，请指出极大值的位置。解:2014rdldEercosxllEdEdE322220011cos44dlxxdEdlrrxR2323202222001144RxQxEdlxRxR由0dEdx得22x即圆环轴线上具有最大电场强度的位置,位于原点两侧22x和22x10.将通有电流I=5.0A的无限长导线折成如图形状，半圆环的半径为R=0.10m。求圆心O点处的磁感应强度。解:O处总cdbcabBBBB，方向垂直指向纸里其中021(sinsin)4abIBa∵02，211，Ra∴)4/(0RIBab又)4/(0RIBbc因O在cd延长线上0cdB，因此RIB40RI402.1×10-5T11.球形电容器由内外半径分别为1R,2R的两个同心金属球壳组成。两球壳间充满相对电容率为r的均匀电介质，若内球壳带电Q，外球壳带电Q,求：(1)两球壳之间的电位移矢量D、电场强度E；(2)两球壳之间的电势差U；（3）电容器的电容C。（1）2,4sQDdsQDr所以2004rQDEr方向沿径向。（2）)11(421021RRQldEUrRR122104RRRRUQCr12.一根长度为L的铜棒置于磁感强度为B的均匀磁场中，铜棒在与磁场方向垂直的平面内绕棒的一端O逆时针以匀角速转动。（1）试求在铜棒两端感应电动势的大小和方向；（2）试判断O端所带电荷的电性。解:()idEvBdlBvdl20012LLiilEdEBvdlBldlBL电动势方向从O指向P,O端带正电荷。13.一根无限长直导线通有电流tII30e。一个矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，位置如图所示。求：（1）矩形线圈中感应电动势的大小；（2）在右图中标示感应电流的方向；（3）导线与线圈的互感系数。解：(1)rBlSBddd0/(2)BIr∴ablIrlrIbaln2d200tIabltidd)(ln2dd0tablI300eln23(2)感应电流方向为顺时针方向．(3)ablIMln2014.求在均匀变化的磁场中铝圆盘内的感应电流。取半径为r，宽度为dr,高度为b的圆环：dddddlsBElStB与盘面垂直且dB/dt=k2dddπdsBSkrt2πd;ddd2rkbRirrbr2a0dd24kbkabIirr15.设在真空中，有一半径为R的载流圆形导线，导线中通过的电流为I,试求过圆心并垂直于圆形导线的轴线上任意点P处的磁感强度。解：024rIdledBr由于dl与矢量re垂直,所以024IdldBr00222220003322320coscos44422()xllllRIdlIdlRBdBdBrrrIRRIRIdlrrRx16.有两个同轴圆筒形导体,其半径分别为1R和2R,通过它们的电流均为I,但电流的流向相反,求其单位长度上的自感和自感磁能。解：02πIBrddΦBSdBlr210dd2πRRIΦΦlrr021ln2πIlRΦR021ln2πlRΦLIR单位长度的自感为021ln2πRR单位长度上自感磁能为2021ln4