概率论与数理统计-第二版-齐民友-第二章-课后习题答案

第2章习题答案总13页第1页第二章随机变量及其概率分布（一）基本题解答1.样本空间}{)6,6(,),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(LLLL=V.这里，例如(6,1)表示掷第一次得6点，掷第二次得1点.其余类似.以X表示两次所得点数的和.则X的分布律为X23456789101112Pk3613623633643653663653643633623612.由题设，X的可能值为0，1，2，3.以)3,2,1(=iAi表示事件“汽车在第i个路口遇到红灯”；A1，A2，A3相互独立，且.3,2,1,2/1)()(===iAPAPii于是{}{}{};2/1)(2;2/1)(1;2/1)(033212211=========AAAPXPAAPXPAPXP{}33212/1)(3===AAAPXP.∴X的分布律为：X0123Pi214181813.设“ξ=k”表示前k次取出白球，第k+1次取黑球，则ξ的分布列为).,,1,0()()1())(1()1()(mkknnnmnkmmmkPLLL=---+--==x4.（1）.3,135151515)(515151=∴==×====∑∑∑===ccccckXPkkkQ（2）{}.53513131∑===≤≤kXP（3）{}.52515.25.021∑===kXP5.设进行了i次试验，其中有k次试验成功之事件设为A，则此事件包含有两层意思：它意味着第i次（ki≥）成功，且1-i次试验中成功1-k次，设这两个事件分别为A1，A2，则12AAA=,且1212()()()()PAPAAPAPA==A1与A2独立,1(),PAp=而kikkikikkiqpCqpCAP----------⋅=⋅=111)1(11112)(.于是，所需试验次数X的分布律为11111()(,1,;1).kkikkkikiiPXipcpqcpqikkqp-------==⋅==+=-L6.设ξ为该种商品每月销售数，则ξ～π（5），x为该种商品每月进货数，则999.0)(≥≤xPx.查Poisson分布的数值表，得x≥14.7.设X=｛该外国人在5个选择题中答对的题数｝，则X~B（5，4/1）.又设A=｛答对题数不少于两题｝，则依题设知{}∑∑==-====535355.1035.0)43()41()(kkkkkCkXPAP8.设X=｛180台同类设备中同时发生故障的设备的台数｝，则X~B（180，0.01）.又设配备N个维修人员，则所求概率为第2章习题答案总13页第2页{}{}{}180180180180111(0.01)(0.99)kkkkNkNPXNPXNPXkC-=+=+=≥+===∑∑.令1800.011.8npl==×=,由Poisson定理,得{}1801801.818011(1.8)1(0.01)(0.99)!kkkkkNkNPXNcek∞--=+=+≥+=≈∑∑，欲使∑∞+=-=-≤18.101.099.01!8.1Nkkek，查泊松分布表，可知N+1=7，因而至少应配备6名工人.9.设iA={}需要调整部件i（i=1,2,3），则,20.0)(,10.0)(21==APAP.30.0)(3=AP由于A1，A2，A3相互独立，因此，有{},504.0)3.01()2.01()1.01()()()()(0321321=-×-×-====APAPAPAAAPXP{})()()(1321321321AAAPAAAPAAAPXP++===0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398,{})()()(2321321321AAAPAAAPAAAPXP++===0.092，{})()()()(3321321APAPAPAAAPXP====0.1×0.2×0.3=0.006.因此，X的概率分布为X0123P0.5040.3980.0920.00610.第一种方案下,设4个人承包的机器出故障而未得到及时维修的事件分别为B1，B2，B3，B4，那么这种方案下机器出故障而未得到及时维修的概率为123412341234()1()1()()()()PBBBBPBBBBPBPBPBPB=-=-UUU,这里,1,2,3,4,iBi=表示出现了故障及时得到了维修,且有1234()=()=()=()PBPBPBPB.若设随机变量X为一人承包的机器中出故障的数量,则(20,0.01)XB:,近似地,我们可以把X看成服从参数为200.010.2×=的Poisson分布,那么有1234()=()=()=()(0)(1)1(2)PBPBPBPBPXPXPX==+==-≥,查Poisson分布表,得1234()=()=()=()0.9825PBPBPBPB≈,那么12341()()()()1-0.9318=0.0682PBPBPBPB-≈,即第一种方案下机器出故障而未得到及时维修的概率为0.0682.第二种方案下,设随机变量Y为80台机器出故障的数量,则(80,0.01)YB:,近似地,我们可以把Y看成服从参数为800.010.8×=的Poisson分布,那么这种方案下机器出故障而未得到及时维修的概率为(4)PY≥,查Poisson分布表可得(4)0.0091PY≥≈.0.0091远小于0.0682,且第二种方案需要的工人数更少,故第二种方案占优.11.由5(1)9PX≥=,得24(0)(1)9PXp===-,故得213p-=.那么第2章习题答案总13页第3页33219(1)1(0)1(1)1()327PYPYp≥=-==--=-=.12.由(1)(2)PXPX===,得Poisson分布的参数2l=,那么42222(4)4!3PXee--===.13.设每条蚕的产卵数量记为X,则(),XPl:设每条蚕产的卵变成小蚕的数量为Y,那么有()(|)()mkPYkPYkXmPXm∞======∑(1)!mkkmkmmkCppemll∞--==-∑(1)(1)(1)!!kkmkmkmkpemmmkpkmlll--∞-==--+-∑L(1)!()!kkmkmkmkpepkmklll---∞=-=-∑0((1))!!kkiipepkilll-∞=-=∑(1)()=!!kkkpppepeekklllll---=,即随机变量X服从参数为pl的Poisson分布.14.()Fx为阶梯状函数，则X可能取得值为()Fx的跳跃点：1-，1，3即有,2.08.01)03()3()3(,4.04.08.0)01()1()1(,4.0)01()1()1(=-=--===-=--===----=-=FFXPFFXPFFXPX1-13P0.40.40.2%%%以上为离散型问题15.（1）由于1)(lim=+∞→xFx，所以有2/2lim()1,xxabea-→+∞+==即a=1，又由于X为连续型随机变量，F(x)应为x的连续函数，应有2/2000lim()0lim()lim()xxxxFxFxabeab-++-→→→===+=+所以0,1.abba+==-=-代入,ab之值，得2/21,0,()0,0.xexFxx-⎧-⎪=⎨≤⎪⎩第2章习题答案总13页第4页（2）对函数F(x)求导，得X的概率密度2/2,0,()0,0.xxexfxx-⎧≥⎪=⎨⎪⎩16.当x≤0,∫∞-==xxtedtexF;2121)(当x＞0时，)(21)(00∫∫∞--+=xttdtedtexFxxee---=-+=211)]1(1[21，所以，我们有/2,0,()1/2,0.xxexFxex-⎧≤=⎨-⎩17.由{}32=≥kXP得{}31=kXP，即应选k，使∫∞-=kdxxf31)(.注意∫∞-=00)(dxxf，∫=1031)(dxxf，∫=310)(dxxf，∫=6332)(dxxf，可见当1≤k≤3时，∫∫∫∫∞-∞-=++=kkdxxfdxxfdxxfdxxf010131)()()()(，所以k的取值范围应为1≤k≤3.18.{}120.80.812(1)0.272PXxxdx=-=∫.{}120.90.912(1)0.037PXxxdx=-=∫.%%%15-18是一般的连续型问题19.),2001(~EX（1）2001001)100()100(--==≤eFXP=211--e；（2）3002001)300(×-=eXP=5.123--=ee.20.解法1用随机变量法：令iX表示第i次掷骰子出现的点数，1,2i=,则有{}1/6,(1,2,,6;1,2)iPXjji====L，则方程有重根的充要条件是21240XX-=，有实根的充要条件是21240XX-≥，故{}{}{}212212140(1,24,4)qPXXPXXUXX=-======{}{}21211,24,4PXXPXX===+=={}{}{}{}21211244PXPXPXPX===+==1/61/61/61/61/18.=×+×=第2章习题答案总13页第5页由全概率公式可得{}{}226211122121140{}{}44iXXpPXXPXPXjPXXj==-≥=≤==≤=∑{}{}{}221212121261{}2{}6{}444PXPXPXPXPXPX==≤+=≤++=≤L3619161161646162616161061=×+×+×+×+×+×=解法2用枚举法：一枚骰子掷2次，其基本事件总数为36.方程有实根和重根的充要条件分别为042≥-CB和042=-CB.B的取值123456使042≥-CB的基本事件个数012466使042=-CB的基本事件个数010100故使方程有实根的基本事件总数为1+2+4+6+6=19，有重根的基本事件总数1+1=2，因此.18/136/2,36/19===qP21.由题意,知当02th≤时,0()()1.txtPXtPTtedxelll--≤=≤==-∫当2th≥时,关机是必然事件,则()1.PXt≤=故X的分布函数为1,02()1,2tXethFtthl-⎧-≤=⎨≥⎩.其图像为21hel--2ht%%%19,21题考察指数分布,20可以放在13题后22.设X为考生的外语成绩，由题设知),(~smNX，其中μ=72.现在求2s.由题设知{}960.023,PX≥=则0h1F(t)第2章习题答案总13页第6页9672241()0.023,XPmsss--⎧⎫≥=-Φ=⎨⎬⎩⎭即得24()0.977,sΦ=查)(xΦ的数值表，可见242s=，得12=s,这样2(72,12)X:.那么所求概率为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=≤≤111272841272608460smsmXPXPxP682.01841.021)1(2)1()1(=-×=-Φ=-Φ-Φ=.23.(1);9236.0)43.1()3530025035300()250(≈Φ=--=xxpp(2)300()()353535xxpxxpxmxm--+=-()()2()10.9,353535xxx=Φ-Φ-=Φ-≥即(/35)0.95xΦ≥，所以65.135/≥x，即75.57≥x.24.引进下列事件：A1=｛电压不超过200伏｝，A2=｛电压在200~240伏｝，A3=｛电压超过240伏｝；B=｛电子元件损坏｝.由题设，知2(220,25)XN:，因此{}212.0)8.0(2522020025220200)(1=-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=XPXPAP；{}576.0)8.0()8.0(240200)(2=-Φ-Φ=≤≤=XPAP；{}212.0576.0212.01240)(3=--==XPAP.(1)由题设条件，知()1.01=ABP，001.0)|(2=ABP，2.0)|(3=ABP.于是，由全概率公式，有∑====310642.0)|()()(iiiABPAPBPa.(2)由条件概率定义（或贝叶斯公式），知222()(|)(|)0.009.()PAPBAPABPBb